Урок по геометрии Центральный и вписанный углы

Латыпова Гузель Вакилевна,

учитель математики высшей категории

 МБОУ СОШ №1 с.Федоровка МР

Федоровский район.

Урок геометрии в 8 классе.

План урока

Цель урока:

Формировать навыки вывода понятий вписанного и центрального углов, теоремы о вписанном угле и решения задач на их применение.

Ход урока:

1.                  Орг. момент.

Здравствуйте ребята.

Сегодня нам с вами предстоит пройти по маршруту импровизированной эстафеты. На каждом этапе которой, необходимо будет выполнять определенную работу, и проводить ее оценку.

Для успешного прохождения эстафеты вам предлагается  «Маршрутный лист» и  конверт с фигурами (модель окружности и двух равных углов) по  1-му на парту, а для каждого «Лист сопровождения», в котором вы будете  фиксировать анализ выполненной работы и «Рабочий лист» (Приложение 1).

Прошу вас написать сегодняшнее число на «Рабочих листах». А тему урока пока не записываем.

2.     Основная часть урока:

Итак, начнем.

1 этап –Математический диктант.

1 вопрос…

(Слайды 2-6)(Приложение 2).

Теперь обменяйтесь своими работами и проверьте их по готовым ответам (Слайд7) поставьте оценку по количеству верных ответов(слайд 7).

В «Лист сопровождения» занесите то количество баллов, которое соответствует вашей оценке.( Слайд 8)

Переходим к следующему этапу.

Сегодня мы с вами попытаемся ввести новые понятия вместе.

На рабочих листах отметьте на 1-й окружности  точки А и В.

 На сколько частей разделилась наша окружность?                      

- две.

На что похожа меньшая из них?                                 

- на дугу.

Эту фигуру так и назвали – дуга окружности. Обозначается она специальным значком ᴗ АВ.

А вторая часть похожа на дугу?

                                                                  - да.

Поэтому ее тоже называют дугой окружности, и чтобы было понятно о какой дуге идет речь, добавляют еще одну букву, поставьте букву C на меньшей дуге и D на большей дуге.   Называют эти дуги  так ᴗАСВ, ᴗАDВ.

В тетрадях справа от 1 рисунка сделайте запись:

ᴗАСВ, ᴗАDВ, ᴗАВ – дуги окружности.

 Работаем со 2-м рисунком.  Начертите диаметр окружности MN.  Отметьте на одной дуге точку D, а на другой точку В.

Что можно сказать о дугах MDN и MBN

                                               -они равны

А вместе образуют целую окружность, как назовем эти дуги? Какую часть они составляют от окружности

                                               - полуокружностями.

В  рабочих листах справа от 2-й окружности записываем ᴗ MDN и ᴗ MBN – полуокружности.

Для работы с  третьей окружностью, прошу выйти  к доске одного ученика.

Отметьте центр окружности, обозначьте точку О и изобразите дугу АВ. 

Проведите два луча ОА и ОВ. Какая фигура появилась на чертеже?

                                                                  - угол.

Верно, какая особенность этого угла?

                                               - вершина – в центре окружности.

Как бы вы назвали его?

                                               - центральным углом.

Сформулируйте определение этого угла.

                   -Центральный угол –это угол, вершина которого лежит в центре окружности.

Записываем угол АОВ – центральный угол. Спасибо. Садитесь.

А сейчас мы немного разомнемся. Сядьте поудобнее, кто хочет можете встать между рядами. Изобразите руками острый угол, тупой угол, развернутый угол, опустили руки и повторим в обратном порядке – развернутый угол, тупой, острый. И еще раз….

Разомнулись? Работаем дальше.

Сколько дуг соответствует  углу АОВ?

                                      - две.

Работа по (Слайду 9)

Если угол  АОВ неразвернутый, то говорят, что дуга АВ, расположенная внутри этого угла,  меньше полуокружности, а про другую, говорят, что она больше полуокружности.

Дугу окружности можно измерять в градусах.

Если дуга АВ окружности с центром в точке О меньше полуокружности или является полуокружностью, то ее градусная мера считается равной градусной мере центрального угла АОВ.

Отметьте точку С на меньшей дуге и запишите

Если же дуга АВ больше полуокружности, то ее градусная мера считается равной (360° – угол АОВ)

Отметьте точку D на большей дуге и запишите

 У нас осталось еще одно новое понятие.

Работаем с четвертой окружностью. К доске пойдет…

Отметьте  точки M, N, А, лежащие на окружности и проведите два луча АМ и AN. Какая фигура появилась?                                  

-угол MAN.

Верно, нам необходимо назвать и его. Где он расположен?

                                                                  - вписанный угол.

Сформулируйте определение этого угла.

                                      - вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают ее.

Молодцы ребята.

Какие углы мы  сегодня изучили?

                                      - центральные и вписанные углы.

Значит тема нашего урока какая?

                            -Центральные и вписанные углы.(Слайд 10)

Запишите ее в Рабочие листы.

И соответственно, цель нашего урока:

         - Освоить понятия центрального и вписанного углов.

А так же найти связь между ними и доказать эту связь. (Слайд 11)

Теперь на «Листах сопровождения» оцените свой уровень понимания материала по каждому понятию по схеме (Слайд 12) напротив каждого понятия проставьте свои баллы.

Переходим к следующему этапу.

Мы с вами изучили понятия центрального  и вписанного углов. А для чего мы это сделали?  Возможно, есть какое-то свойство, связывающее эти понятия.  Предлагаю вам, практическим способ попытаться найти  это свойство. Поработаем в парах. У вас на партах лежат конверты. Откройте их и достаньте фигуры. Обратите внимание, у вас два угла, сравните их?

                            - они равны.

Учитывайте это в своей работе.

Прошу помочь мне двоих ребят. Прикрепите на доске окружность. Спасибо,  а теперь можно вас попросить поработать у доски с этой моделью.

Задание:

Впишите в  окружность угол равный одному из предложенных вам. Используя цветной карандаш, обведите его.  Уберите шаблон. Постройте центральный угол, опирающийся на ту же дугу, что и вписанный. С помощью предложенных шаблонов попытайтесь найти связь между вписанным и центральным углами, изображенными у вас на окружности.

Какие будут идеи?

                                      -  в центральный угол умещается два вписанных угла.

Молодцы, а вписанный угол какую часть составляет от центрального?

                                               - ½

А центральный угол чему равен?

                   -дуге окружности.

Верно, молодцы. Какой можно сделать вывод? 

- Вписанный угол равен половине дуги,

на которую он опирается.

Сформулируйте еще раз это утверждение.

-Вписанный угол равен половине дуги,

на которую он опирается.

В этом и заключается свойство вписанного угла – теорема о вписанном угле.

Любая теорема требует чего?

                                               - доказательства.

Предлагаю ее доказать.

Начнем с рисунка. Подумайте, а как может располагаться в окружности вписанный угол относительно центра? Изобразите все возможные случаи.

Рассмотрим первый случай.

Чем являются отрезки АО, ОС, ОD?

- радиусами, значит они равны,

треугольник DОС равнобедренный,

значит угол С равен углу D.

А в сумме они будут равны внешнему

 углу АОС – центральный угол,

значит угол D=1/2 угла АОС = ᴗАС.

Молодцы, доказательство 2 и 3 случаев вы рассмотрите дома самостоятельно.

В «Листах сопровождения» оцените  усвоение теоремы.

3.     Закрепление материала:

Мы подошли к следующему этапу.

Вам предлагается задача

Найдите градусную меру угла АВС,  дуги АВС

Оцените свою работу на последнем этапе. По критериям на экране (Слайд15)

Мы ставили цель (Слайд 18). Оцените, как вы достигли ее. (Слайд 19).

Посчитайте общее количество баллов и поставьте себе оценку за работу в классе (Слайд 20).

4.     Домашнее задание:

 Выучить определения, повторить доказательство теоремы (1 случай) и доказать два других случая.

«Листы сопровождения» сдайте учителю.

Спасибо за вашу активность и работу, мне было очень приятно с вами работать. Желаю вам успехов!

Приложение 1

Маршрутный лист

№ учебного элемента	Название и цели учебного элемента	Руководство по усвоению учебного материала
УЭ-0	Первый этап Входной контроль. Математический диктант. Цель: Проверить знания учебного материала (угол,   окружность, хорда, свойства равнобедренного  треугольника и внешнего угла треугольника), необходимых для изучения нового материала.	5 минут. После выполнения всех заданий, поменяйтесь работами с соседом и проверьте их, по ответам на экране. Оцените друг друга: нет ошибок- «5», 1 ошибка – «4», 2 ошибки – «3», более 3 ошибок – «2».
УЭ-1	Интегрирующие цели: 1.      Развитие способностей анализировать, проводить сопоставление, обобщать, строить доказательства, проводить наблюдения, планировать деятельность. 2.      Воспитание культуры речи; построение плана          ответа; формирование  умений осуществлять         взаимоконтроль. 3.      Сформировать основные понятия: дуга окружности,        полуокружность, центральный угол, градусная мера                 дуги окружности,  вписанный угол. 4.      Вывести и доказать теорему о вписанном угле. 5.      Отработать навыки решения задач на применение         понятий вписанного и центрального углов, на         применение теоремы о вписанном угле.	2 мин.
УЭ-2	Второй этап Изучение теоретического материала. Цель: Ввести новые понятия.	7 мин. Работай внимательно с учителем.
УЭ-3	Третий этап Изучение нового материала. Цель: Сформулировать и доказать теорему о              вписанном угле.	10 мин. Работай внимательно с учителем.
УЭ-4	Четвертый этап Закрепление изученного материала. Цель: Сформировать навыки применения изученного              материала к   решению задач.	3 мин.  Работай внимательно, постарайся  решить сам.
УЭ-4	Обобщение. Вернись к УЭ-1. Достиг ли ты поставленной цели?	2 мин.
УЭ-5	Домашнее задание.	Выучить определения, повторить доказательство теоремы (1-ый случай) и самостоятельно доказать два других случая.

Лист сопровождения

Этапы		Баллы
Математический диктант
Основные понятия	Дуга окружности
	Полуокружность
	Градусная мера дуги
	Центральный угол
	Вписанный угол
Теорема
Задача
Достижение цели
Итого

Рабочий лист ______________________________________

Тема   __________________________________________________

1.     Математический диктант

1.

2.

3.

4.

5.

2.Изучение нового материала

 

Рис.1                                                                   Рис.2

 

Рис.3                                                                   Рис.4

3.Теорема_______________________________________________________  

4.                 Задача