Урок по теме: "Новые способы решений квадратных уравнений"

УРОК ПО ТЕМЕ "НОВЫЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЙ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ"

Цели урока

Образовательные:

·          обобщение и систематизация основных знаний и умений по теме;

·          формирование умения решать квадратные уравнения.

Развивающие:

·          развитие логического мышления;

·          памяти;

·          внимания;

·          общеучебных умений;

·          умения обобщать.

Воспитательные:

·          воспитания трудолюбия;

·          взаимопомощи;

·          взаимоуважения и математической культуры.

Ход урока

Здравствуйте, ребята. Нам предстоит поработать над очень важной темой: «Новые способы решения квадратных уравнений». Вы уже достаточно знаете и умеете по этой теме, поэтому наша с вами задача: обобщить и сложить в систему все те знания и умения, которыми вы владеете.

Чтобы у нас царила атмосфера доброжелательности, предлагаю начать урок с таких слов:

В класс вошел - не хмурь лица,

Будь разумным до конца.

Ты не зритель и не гость−

Ты программы нашей гвоздь.

Не ломайся, не смущайся,

Всем законам подчиняйся.

А законы у нас сегодня будут такие: каждый из вас имеет возможность получить, оценку за урок по результатам работы на различных его этапах. И еще один не обсуждаемый закон: для ответа на поставленный вопрос вы поднимаете руку и нив коем случае не перебиваете друг друга. Желаю всем удачи.

Приступим к работе. Для того чтобы включиться в работу и сконцентрироваться предлагаю вам небольшую устную разминку. Но вопросы будут не только по теме урока, проверяем ваше внимание, и умение переключаться.

1.       Какое название имеет уравнение второй степени?

2.       От чего зависит количество корней квадратного уравнения?

3.       Когда начался 21 век?

4.       Сколько корней имеет квадратное уравнение, если Д больше 0?

5.       Очень плохая оценка?

6.       Что значит решить уравнение?

7.       Сколько корней имеет квадратное уравнение, если Д меньше 0?

8.       Есть у любого слова, у растения и может быть у уравнения.

Уравнения с давних времен волновали умы человечества. По этому поводу у английского поэта средних веков Чосера есть прекрасные строки, предлагаю их эпиграфом нашего урока:

Посредством уравнений, теорем,

Я уйму всяких разрешил проблем.

Квадратные уравнения тоже не исключение. Они очень важны и для математики, и для других наук. Раз мы говорим об уравнениях, давайте вспомним − что это такое?

− Равенство, содержащее неизвестное.

Является ли уравнением выражение (х+1)∙(х−4)=0?

− Да.

Каким наиболее рациональным способом мы можем его решить?

− Приравнивая каждый множитель к нулю. Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл.

Хорошо.

Решите пожалуйста, это уравнений. (решаем на доске)

− х= −1 и х=4.

А можно ли его решить другим способом?

− Да, его можно привести к квадратному.

Напомните, какие уравнения называются квадратными?

− Уравнения вида ах²+ bх+с=0.

Приведите наше уравнение к такому виду. (решаем на доске)

− x²−3х−4=0.

Назовите его коэффициенты. А что еще вы можете сказать об этом уравнении?

− Оно полное и приведенное.

А какие еще виды квадратных уравнений вам известны?

Отвечают.

Хорошо. Теперь давайте проверим, насколько хорошо вы умеете определять виды квадратных уравнений. Вашему вниманию предлагается тест, в котором записаны, пять уравнений. Напротив, каждой колонки вы ставите плюс, если он: принадлежит к данному виду.

ТЕСТ «ВИДЫ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ»

Ф.И.	Полное	Неполное	Приведенное	Не приведённое	Общий балл
х2+8х+3=0
6х2+9=0
х2−3х=0
х2+2х+4=0
3х+6х2+7=0

Молодцы. С видами квадратных уравнений мы разобрались. А с каким еще понятием мы постоянно сталкиваемся при решении квадратных уравнений?

− С дискриминантом .

А зачем он нам нужен?

− Он определяет число корней квадратного уравнения.

И как количество корней зависит от Д?

− Дети перечисляют случаи.

ИЗУЧЕНИЕ НОВОГО СВОЙСТВА КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ.

Ребята, мы с вами решали квадратные уравнения по формуле. Сегодня вы должны познакомиться с еще одним способом решения, который позволит устно и быстро находить корни квадратного уравнения.

1.       Назовите коэффициенты в каждом уравнении и найдите сумму коэффициентов.

х²−5х+1=0       1−5+1=−3

9х²−6х+10=0   9−6+10=13

х²+2х−2=0       1+2−2=1

х²−3х−1=0       1−3−1=−3

При решении некоторых квадратных уравнений, оказывается, немаловажную роль играет сумма коэффициентов.

Рассмотрим это на уравнениях.

2.       Решите уравнения (4 учащихся у доски).                        

х²+2х−2=0       x₁=1  x₂=−2                                                                 

х²+2х−3=0       x₁=1  x₂=−3                                                                 

х²−3х+2=0       x₁=1  x₂=2                                                                   

5х²−8х+3=0     x₁=1  x₂=3/5                                                                

− Ребята, а сейчас посмотрим на эти уравнения и их корни.

− Попробуйте найти какую−нибудь закономерность:

1)      в корнях этих уравнений; (первый корень=1);

2)      в соответствии между отдельными коэффициента и корнями; (второй корень или с/а);

3)      в сумме коэффициентов (сумма коэффициентов равна 0).

Ребята, к какому выводу вы пришли? Придумайте правило.

Учитель слушает ответы учеников й делает вывод:

Если в уравнении ах²+bх+с=0; а+b+c=o,

х₁=1; х₂=с/а (если а=1 то х₁=1; х₂=c)

Это свойство применяется для устного решения квадратных уравнений. Рассмотрим это на следующих примерах.

Выберите из уравнений те, которое решаются с помощью нового свойства и решите их:

2х²−8х+3=0               х²+8х+16=0

х³+4х−5=0                 8х−4х²=4

х²+2х=0                     7х−х²−2=0

3х²−6х+3=0               х²−3х=0

−х²−5х+6=0              х²−3х=0

ТЕОРЕМА ВИЕТА

Посмотрите внимательно на таблицу.

Уравнение	Корни	Произведение корней	Сумма корней
х2−2х−15=0	5 и −3	−15	2
х+3х−28=0	4 и −7	−28	−3
у2−14у+48=0	6 и 8	48	14
х2+15х+36=0	−12 и −3	36	−15
x2+px+g=0	х1 и х2	? (х1*х2=q)	? (х1+х2=p)

ОТКРЫТИЕ НОВОГО ЗНАНИЯ

Какое предположение можно сделать? Сравните сумму и произведение корней с коэффициентами уравнений. Какая существует зависимость между корнями приведенного квадратного уравнения и его коэффициентами? Сформулируйте утверждение и заполните последнюю строку таблицы. (Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену).

Сформулированное утверждение называется теоремой Виета − по имени выдающегося французского математика Француа Виета.

Рассмотрим доказательство теоремы Виета.

Дано приведенное квадратное уравнение: х²+pх+q=0,     D=p²−4q;

Закрепим теорему Виета.

1. Проверьте, правильно ли найдены корни квадратного уравнения:

A) x²+3x−40=0, х₁=−8, х₂=5;

Б) х²−2х−3=0, х₁=−1, х₂=3.

2. №580 (устно), 585, 587.

Задание на дом: №582, 586, 588. Приготовить сообщения о Француа Виет.

РЕФЛЕКСИЯ

Оцените степень сложности урока. Вам было на уроке:

·        Легко

·        Обычно

·        Трудно

Оцените степень вашего усвоения материала:

·        Усвоил полностью, могу применить;

·        Усвоил полностью, но затрудняюсь в применении;

·        Усвоил частично;

·        Не усвоил.