Урок"ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ"

Урок 38
Возведение в степень произведения

Цели: вывести  правило  возведения  в  степень  произведения  двух и  более  сомножителей;  формировать  умение  вычислять  степень  произведения, а также рационально преобразовывать выражения, содержащие степень произведения либо предполагающие использование данного свойства.

Ход урока

I. Устная работа.

Вычислите.

а) 2³ · 5³;                    в) 12²;                          д) 5³ · ;                    ж) (bx)⁵;

б) 10³;                         г) 3² · 4²;         е) (2а)³;                           з) (ab)ⁿ.

II. Объяснение нового материала.

Конструкция примеров и их последовательность позволяют сделать обобщение. В результате появится следующая запись:

(ab)n = anbn.

Заготовленный лист с этим свойством закрепить на доску к ранее изученным. Это равенство можно доказать устно с подробной записью доказательства на доске:

Для любых а и b и произвольного натурального п верно равенство (ab)n = anbn.

Доказательство:

(ab)ⁿ = (ab) · (ab) · ... · (ab) по определению степени п раз;

(ab) · (ab) · ... · (ab) = (aa...a)(bb...b) по свойствам умножения п раз п раз; (ab)ⁿ = aⁿbⁿ.

Ученики пробуют самостоятельно сформулировать алгоритмическое правило возведения в степень произведения. Они приходят к выводу, что необходимо выполнить два шага:

1) каждый множитель возводить в эту степень;

2) результаты перемножить.

Следует записать выводы учащихся в виде алгоритма на доске и подчеркнуть глаголы. Глагол обозначает действие, которое необходимо выполнить. Ребята выясняют, можно ли поменять местами порядок выполнения действий. Далее идёт работа с учебником. Ребята сравнивают формулировку, которая получилась у них, с той, которая находится в учебнике на с. 97.

Такой подход даёт хороший результат быстрого заучивания формулировок свойств степени.

Последним можно предложить следующий пример:

(abсd)⁴ = ...

Решение:

(abcd)⁴ = a⁴b⁴c⁴d⁴.

Учащиеся могут самостоятельно доказать, что данная формула верна не только для двух сомножителей, но и большего их числа.

По окончании объяснения нового материала рассмотреть пример 1 со с. 97 учебника.

III. Формирование умений и навыков.

При выполнении упражнений на уроке ученики должны проговаривать правило и алгоритм возведения произведения в степень.

Кроме того, задания предполагают применение формулы как слева направо, так и справа налево. Необходимость того или иного способа обусловлена рациональностью преобразования выражения либо вычисления его значения.

1. № 428.

2. Выполните возведение в степень, представив предварительно основание степени в виде произведения множителей –1 и х:

а) (–х)²;                 б) (–х)⁸;                      в) (–х)¹⁰⁰;                    г) (–х)^2п;

д) (–х)³;                 е) (–х)⁹;                       ж) (–х)⁷¹;                    з) (–х)^{2п + 1}.

Решение:

а) (–х)² = ((–1) · х)² = (–1)² · х² = 1 · х² = х²;

е) (–х)⁹ = ((–1) · х)⁹ = (–1)⁹ · х⁹ = –1 · х⁹ = –х⁹;

г) (–х)^2п = ((–1) · х)^2п = (–1)^2п · х^2п = 1 · х^2п = х^2п;

з) (–х)^{2п + 1} = ((–1) · х)^{2п + 1} = (–1)^{2п + 1} · х^{2п + 1} = –1 · х^{2п + 1} = –х^{2п + 1}.

3. № 431.

Решение:

а и –а – противоположные числа.

а²;

(–а)² = ((–1) · а)² = (–1)² · а² = 1 · а² = а²,

значит, а² = (–а²).

4. № 432.

Решение:

Пусть а – сторона квадрата, тогда площадь квадрата равна а2. Если сторона квадрата увеличится в 2 раза, то станет равна 2а, а его площадь будет равна (2а) · (2а) = = (2а)2 = 22 · а2 = 4а2, то есть увеличится в 4 раза.

Аналогично рассуждаем для остальных случаев.

5. № 433.

Решение:

Пусть а – ребро куба, тогда его объем равен а3. Если ребро увеличить в 3 раза, то объем куба будет вычисляться по формуле (3а) · (3а) · (3а) = (3а)3 = = 33 · а3 = 27а3, значит, объем увеличится в 27 раз.

6. № 434.

Для решения используем данные задачи № 432.

Решение:

Поверхность  куба  состоит  из  6  квадратов  площадью  а²,  то  есть равна 6а².

Если ребро куба увеличить в 3 раза, то площадь боковой грани составит 9а², а общая площадь поверхности равна 6 · 9а² или 54а².

Новая площадь больше в 9 раз, значит, и краски потребуется в 9 раз больше, то есть 40 · 9 = 360 г. Следовательно, 350 г краски на хватит.

Ответ: не хватит.

7. Представьте произведение в виде степени.

а) x⁵y⁵;                              б) 36a²b²;                               в) 0,001x³c³;

г) –х³;                               д) –8х³;                                   е) –32a⁵b⁵;

ж) x⁵y⁵z⁵;                          з) 0,027a³b³c³;                       и) x³a³z³.

8. Вычислите значение выражения, используя свойство степени произведения.

а) 5³ · 2³;                                      в) (0,5)³ · 60³;

б)  · 20⁴;                            г) (1,2)⁴ · .

IV. Итоги урока.

– Сформулируйте определение степени с натуральным показателем.

– Сформулируйте правило возведения в степень произведения.

– Сколько  сомножителей  может  стоять  в  формуле  степени  произведения?

– Чему равно значение выражения (3 · 5 · 78)⁰?

Домашнее задание: № 429; № 430; № 435; № 436; № 437.