Задачи на максимум и минимум

Урок по алгебре 11 класс

Тема: Задачи на максимум и минимум

Цель урока:

 1)Научить учащихся выделять из всех задач задачи на максимум и минимум,составлять по условию задачи функцию,показать ход решения задач данного типа

2)Способствовать развитию умений учащихся выделять главное,определять зависимость между величинами

3)Способствовать развитию творческого отношения к учебной деятельности.

                                     План урока

I.Орг. момент(1 минута)

II.Актуализация опорных знаний.

а)Устно.(3 минуты) Учитель задает вопросы.

Что называют производной функции в точке?

Какой геометрический и механический смысл производной?

Где мы применяем производную?

Рассказать алгоритм нахождения:

А)Критических точек

Б)Участков возрастания и убывания функции

В)Точек экстремума

Г)Наименьшего и наибольшего значения функции на интервале?

Что можно сказать о функции,которая на интервале имеет единственную критическую точку

б)Письменно (4 минуты)

3 ученика у доски решают упражнения(одного типа, но разного уровня),а остальные ученики решают эти же задания в тетрадях,кто сколько успеет.

Задания.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на участке

1)y=3+4x-            2)y=-4x                3)y=(1-)(x-1)

На [0;5]                     На [0;3]                         На [0;2]

Ученики, решившие одно или несколько заданий раньше тех, которые решают у доски и те, кто решал у доски оцениваются по проверенному до урока домашнему заданию,

устным ответам и решенным упражнениям.

III. Восприятие и осознание нового материала.(30 мин.)

Трем ученикам даются одинаковые квадраты со стороной 20 см и надо вырезать в их углах квадраты одинакового размера ( но в каждом квадрате разные) и сделать из них коробки. Все видят  коробки разных размеров из одинаковых квадратов.Надо определить у какой коробки объем наибольший,и какого размера для этого на углах надо вырезать квадраты

Вопрос:Чем необычна эта задача?

Ответ:Вопросом.

Слова учителя.Как же решать задачи такого вида,на этот вопрос мы ответим сегодня на уроке и темой нашего урока будет….( Ученики говорят свои мысли).Пишем тему урока

Ученикам на слайдах (1-5 ) показываются условия пяти задач.

Слова учителя. Какие из задач будут задачами на максимум и минимум и почему? (ученики называют номера задач) Как же решать такие задачи? Мы их будем решать с помощью производных. Сначала составим выражение для функции. Вспоминаем определение функции. Мы должны иметь две переменных. Используя слайды, по выделенным вопросам, устно учимся определять где аргумент,а где функция.А теперь рассмотрим алгоритм решения таких задач. Для того, чтобы вы лучше поняли,могли сравнить,мы будем решать сразу три задачи №2,№3,№5, записывая решения в таблицу.

Учитель на доске, а ученики в тетрадях чертят таблицу и совместно ее заполняют.

   Задачи

№2

№3

№5

1.Определяем аргумент( то, что спрашивается)

Аргументом (X) будет одно  из слагаемых

Аргументом (X) будет один из размеров пряоснования прямоугольника     основания

Аргументом (X) будет сторона основания бассейна

2.Определяем функцию ( значение которое должно быть                   наибольшим или наименьшим)

Y(x)-произведение трех слагаемых

Y(x)-площадь прямоугольника

Y(X)-площадь поверхности бассейна

3.Составляем выражение для нахождения функции и определяем границы аргумента

2x-второе слагаемое 54-3x –третье слагаемое Y(x)=x 2x ( 54-3x ) X из (0;18)		40-x –второй размер прямоугольника Y(x)=x(400-x) X из(0;400)	-площадь дна бассейна  –высота бассейна 4x-периметр основания Y(x)=x+4x ,  x из (0;6)
4.Решаем задачи на нахождение наибольшего или наименьшего значение функции Y(x) на заданном интервале.
У’(x)=-18+216x -18+216x=0 =0 (0;18)=12

5.Доказываем, что в полученной единственной критической точке будет максимум или минимум в зависимости от вопроса.

X=12 точка максимума
6.Интерпритируем результаты исследования функции с точки зрения решаемой задачи.
Значит, если слагаемые будут 12,24,18, то произведение их будет наибольшим.Ответ:12,24,18

При заполнении таблицы до конца решается только одна задача №2,а остальные задачи ученики доводят до конца самостоятельно дома, записывая решения в таблицу, но интерпретацию результатов исследования функции оговариваем устно к каждой задаче на уроке.

IV.Итог урока.

С задачами какого вида мы познакомились?

Как эти задачи можно выделить из остальных?

Каков алгоритм их решения?

V.Домашнее задание.

1.Дорешать задачи №3,№5.

2.Выучить алгоритм решения данных задач.

                     Приложения

Слайд 1 Дан квадратный лист жести со стороной 10 метров. В его углах вырезают одинаковые квадраты размером 1x1м. Найти объём полученной коробки.

Слайд 2 Число 54 представлено в виде суммы 3-х положительных слагаемых. 1-е в два раза больше второго. Какими должны быть слагаемые, чтобы их произведение было наибольшим.

Слайд 3 Есть сетка длинной 800 метров. Ею надо огородить такую площадку прямоугольной формы, чтобы ее площадь была наибольшей. Какие будут размеры прямоугольника.

Слайд 4 Найти объём вытесненной воды при погружении в нее балки прямоугольного сечения с размерами основания 3x4 и высотой 5.

Слайд 5 Какими должны быть размеры бассейна с объёмом 36 метров кубических с квадратным дном и вертикальными стенами, чтобы на его облицовку понадобилось наименьшее количество плитки?