Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Урок-лекция по математике для 9 класса «Арифметическая прогрессия»
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Урок-лекция по математике для 9 класса «Арифметическая прогрессия»

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ АП 9кл.ppt

библиотека
материалов
Арифметическая прогрессия МКОУ Ударниковская ООШ Бутурлиновского муниципально...
Цель 	 Сформировать у обучающихся понятие арифметической прогрессии и научить...
Задачи 1.Ввести понятие арифметической прогрессии 2.Вывести формулы n-го член...
План лекции Определение арифметической прогрессии. Формула n-го члена арифмет...
Определение арифметической прогрессии 4; 7; 10; 13; 16; ; ; ; … 8; 3; -2; -7;...
Определение арифметической прогрессии Арифметической прогрессией называется ч...
1. 3; 6; 9; 12; … -1; -1; -1; … 0; 13; 1; 14; … -11; -6; -1; 4; 9;… -9; -11;-...
Определение арифметической прогрессии Чтобы задать АП достаточно указать ее п...
Формула n-го члена АП Дано: (аn) – арифметическая прогрессия, a1- первый член...
Формула n-го члена АП an = a1+ (n-1)d a21=a1+20d; a27=a1+26d a43=a1+42d; a34=...
Характеристическое свойство аn-1, аn, аn+1, Каждый член арифметической прогре...
Сумма n первых членов арифметической прогрессии Задача Найти сумму всех натур...
Сумма первых n членов арифметической прогрессии (1) (2)
Арифметическая прогрессия в древности Первые представления о арифметической п...
Задача из папируса Ринда Сто мер хлеба разделили между 5 людьми так, чтобы вт...
Итог урока Какая последовательность называется арифметической прогрессией? Пр...
Итог урока Определение арифметической прогрессии Формула n-го члена арифметич...
Домашнее задание П.25(до пр.2), п.26(до пр.2), Работа с материалами лекции, З...
Рефлексия Результатом своей личной работы считаю, что я .. А. Разобрался в те...
Вы можете использовать данное оформление для создания своих презентаций, но в...
20 1

Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Арифметическая прогрессия МКОУ Ударниковская ООШ Бутурлиновского муниципально
Описание слайда:

Арифметическая прогрессия МКОУ Ударниковская ООШ Бутурлиновского муниципального района Воронежской области Учитель: Диденко В.Е. 2013 г алгебра 9 класс

№ слайда 2 Цель 	 Сформировать у обучающихся понятие арифметической прогрессии и научить
Описание слайда:

Цель Сформировать у обучающихся понятие арифметической прогрессии и научить применять формулы при решении практических задач.

№ слайда 3 Задачи 1.Ввести понятие арифметической прогрессии 2.Вывести формулы n-го член
Описание слайда:

Задачи 1.Ввести понятие арифметической прогрессии 2.Вывести формулы n-го члена арифметической прогрессии, суммы n-первых членов арифметической прогрессии (изложение всего теоретического материала). 3. Активизация познавательной деятельности обучающихся. 4. Привитие навыков самостоятельности, ответственности, умения слушать и обобщать, вести диалог.  

№ слайда 4 План лекции Определение арифметической прогрессии. Формула n-го члена арифмет
Описание слайда:

План лекции Определение арифметической прогрессии. Формула n-го члена арифметической прогрессии. Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии. Арифметическая прогрессия в древности.

№ слайда 5 Определение арифметической прогрессии 4; 7; 10; 13; 16; ; ; ; … 8; 3; -2; -7;
Описание слайда:

Определение арифметической прогрессии 4; 7; 10; 13; 16; ; ; ; … 8; 3; -2; -7; -12; ; ; … Каков закон составления этих последовательностей? Составьте свою последовательность, используя тот же закон. Прогрессия - «движение вперед» 19 22 25 -17 -22

№ слайда 6 Определение арифметической прогрессии Арифметической прогрессией называется ч
Описание слайда:

Определение арифметической прогрессии Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом. an+1 = an+d an+1 -an = d, d – разность арифметической прогрессии

№ слайда 7 1. 3; 6; 9; 12; … -1; -1; -1; … 0; 13; 1; 14; … -11; -6; -1; 4; 9;… -9; -11;-
Описание слайда:

1. 3; 6; 9; 12; … -1; -1; -1; … 0; 13; 1; 14; … -11; -6; -1; 4; 9;… -9; -11;-13; -15;… Чему равна разность арифметической прогрессии? d > 0 прогрессия возрастающая, d < 0 прогрессия убывающая ДА ДА НЕТ ДА ДА

№ слайда 8 Определение арифметической прогрессии Чтобы задать АП достаточно указать ее п
Описание слайда:

Определение арифметической прогрессии Чтобы задать АП достаточно указать ее первый член и разность Пример 1. а1=1, d =1; (аn): Пример 2. а1=-2, d =-2; (аn): Пример 3. а1=1, d = 2; (аn): Пример 4. а1= 7, d = 0; (аn): 1; 2; 3; 4; . . . -2; -4; -6; -8; . . . 1; 3; 5; 7; . . . 7; 7; 7; 7; . . .

№ слайда 9 Формула n-го члена АП Дано: (аn) – арифметическая прогрессия, a1- первый член
Описание слайда:

Формула n-го члена АП Дано: (аn) – арифметическая прогрессия, a1- первый член прогрессии, d – разность. a2 = a1 + d a3 = a2 + d = a4 = a3 + d = a5 = a4 + d = . . . an = (a1 + d) + d =a1+2d (a1+2d) +d = a1+3d (a1+3d) +d = a1+4d a1+ (n-1)d

№ слайда 10 Формула n-го члена АП an = a1+ (n-1)d a21=a1+20d; a27=a1+26d a43=a1+42d; a34=
Описание слайда:

Формула n-го члена АП an = a1+ (n-1)d a21=a1+20d; a27=a1+26d a43=a1+42d; a34=a1+33d a200=a1+199d

№ слайда 11 Характеристическое свойство аn-1, аn, аn+1, Каждый член арифметической прогре
Описание слайда:

Характеристическое свойство аn-1, аn, аn+1, Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов.

№ слайда 12 Сумма n первых членов арифметической прогрессии Задача Найти сумму всех натур
Описание слайда:

Сумма n первых членов арифметической прогрессии Задача Найти сумму всех натуральных чисел от 1 до 100. Эта задача связана с детскими годами замечательного немецкого математика Карла Гаусса (1777–1855 гг.). Когда ему было 9 лет, учитель задал эту задачу всему классу, чтобы дети не мешали ему проверять письменные работы учеников другого класса. Через 1 минуту Карл произнес: «Я уже решил…» – и сдал работу. К концу урока сумму вычислили и остальные.

№ слайда 13 Сумма первых n членов арифметической прогрессии (1) (2)
Описание слайда:

Сумма первых n членов арифметической прогрессии (1) (2)

№ слайда 14 Арифметическая прогрессия в древности Первые представления о арифметической п
Описание слайда:

Арифметическая прогрессия в древности Первые представления о арифметической прогрессии были еще у древних народов. Первые из дошедших до нас задач на прогрессии связаны с запросами хозяйственной жизни и общественной практики, например распределение продуктов, деление наследства и т.д. В клинописных вавилонских табличках и египетских папирусах (второй век до н.в.) встречаются задачи на прогрессии и указания как их решать.

№ слайда 15 Задача из папируса Ринда Сто мер хлеба разделили между 5 людьми так, чтобы вт
Описание слайда:

Задача из папируса Ринда Сто мер хлеба разделили между 5 людьми так, чтобы второй получил на столько же больше первого, на сколько третий получил больше второго, четвертый больше третьего и пятый больше четвертого. Кроме того, двое первых получили в 7 раз меньше трех остальных. Сколько нужно дать каждому?

№ слайда 16 Итог урока Какая последовательность называется арифметической прогрессией? Пр
Описание слайда:

Итог урока Какая последовательность называется арифметической прогрессией? Приведите примеры. Что такое разность прогрессии, как ее вычислить? Способы задания арифметической прогрессии?

№ слайда 17 Итог урока Определение арифметической прогрессии Формула n-го члена арифметич
Описание слайда:

Итог урока Определение арифметической прогрессии Формула n-го члена арифметической прогрессии Свойство каждого члена арифметической прогрессии Сумма первых n членов арифметической прогрессии Формула разности арифметической прогрессии аn+1= аn + d аn+1 – an = d аn = а1 + (n-1)d

№ слайда 18 Домашнее задание П.25(до пр.2), п.26(до пр.2), Работа с материалами лекции, З
Описание слайда:

Домашнее задание П.25(до пр.2), п.26(до пр.2), Работа с материалами лекции, Задачи на формулы (смотри лекцию).  

№ слайда 19 Рефлексия Результатом своей личной работы считаю, что я .. А. Разобрался в те
Описание слайда:

Рефлексия Результатом своей личной работы считаю, что я .. А. Разобрался в теории. В. Научился решать задачи. С. Повторил весь ранее изученный материал. 2.Что вам не хватало на уроке при решении задач? А. Знаний. Б. Времени. С. Желания. Д. Решал нормально.

№ слайда 20 Вы можете использовать данное оформление для создания своих презентаций, но в
Описание слайда:

Вы можете использовать данное оформление для создания своих презентаций, но в своей презентации вы должны указать источник шаблона: Ранько Елена Алексеевна учитель начальных классов МАОУ лицей №21 г. Иваново Сайт: http://pedsovet.su/

Выбранный для просмотра документ УрокАП.docx

библиотека
материалов

hello_html_m1d0e465f.gifhello_html_m4425797c.gifhello_html_m695a8987.gifhello_html_m695a8987.gifhello_html_m695a8987.gifhello_html_m695a8987.gifhello_html_5554645.gifhello_html_532ba7a3.gifhello_html_40838eaa.gifhello_html_40838eaa.gifhello_html_40838eaa.gifhello_html_m61703edf.gifhello_html_3763683b.gifhello_html_79451ad0.gifhello_html_m4ddac899.gifМКОУ Ударниковская основная общеобразовательная школа

Бутурлиновского муниципального района







Урок-лекция



Тема: Арифметическая прогрессия















Учитель математики:

Диденко В.Е.









2013г


Цель: Сформировать у обучающихся понятие арифметической прогрессии и научить применять формулы к решению практических задач.



Задачи: 1.Ввести понятие арифметической прогрессии

2.Вывести формулы n-го члена арифметической прогрессии, суммы n-первых членов арифметической прогрессии (изложение всего теоретического материала).

3. Активизация познавательной деятельности обучающихся;

4. Привитие навыков самостоятельности, ответственности, умения слушать и обобщать, вести диалог.





Оборудование: экран, проектор, компьютер, маркеры разного цвета, презентация « Арифметическая прогрессия», учебник «Алгебра 9 кл.»,









План лекции:

1.Определение арифметической прогрессии.

2.Формула n -го члена арифметической прогрессии.

3.Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии.

4. Арифметическая прогрессия в древности.








1.Определение арифметической прогрессии.

Рассмотрим последовательности чисел:

4; 7; 10; 13; 16; . . .

8; 3; -2; -7; -12; . . .

Каков закон составления этих последовательностей?

Начиная со второго члена каждый последующий равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом

аn+1= аn + d

Самостоятельно

Составь свою последовательность, используя тот же закон.



Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

Термин «прогрессия» имеет латинское происхождение (progression), что означает «движение вперед» и был введен римским автором Боэцием (VI в.).


Из определения арифметической прогрессии следует, что аn+1an = d

Число d называется разностью арифметической прогрессии.

Чтобы задать арифметическую прогрессию достаточно указать ее первый член и разность.

Пример 1. а1 =1, d =1; (аn): 1; 2; 3; 4; . . .

Пример 2. а1 = -2, d = -2; (аn): -2; -4; -6; -8; . . .

Пример 3. а1 =1, d =2; (аn): 1; 3; 5; 7; 9; . . .

Пример 4. а1 =7, d =0; (аn): 7; 7; 7; 7; . . .


  • Если в арифметической прогрессии разность положительна (d>0), то прогрессия является возрастающей.

  • Если в арифметической прогрессии разность отрицательна (d<0), то прогрессия является убывающей.

  • В случае, если разность равна нулю (d=0) и все члены прогрессии равны одному и тому же числу, последовательность называется стационарной.

Самостоятельно

Укажите первый член, разность и задайте арифметическую прогрессию.



2.Формула n -го члена арифметической прогрессии.

Зная первый член и разность можно найти любой член арифметической прогрессии, но способ неудобен.

а2 = а1 + d

а3 = а2 + d = (а1 + d) + d = а1 + 2d

а4 = а3 + d= (а1 + 2d) +d = а1 + 3d

а5 = а4 + d= (а1 + 3d)+ d = а1 + 4d и т.д.


аn = а1 + (n-1)d формула n-го члена арифметической прогрессии.

Применим выведенную формулу для членов прогрессии

а21, а27, а43, а34, а200

a21=a1+20d; a27=a1+26d

a43=a1+42d; a34=a1+33d

a200=a1+199d

Самостоятельно

Используя формулу, распишите следующие члены прогрессии: а29, а46, а96, а203, аm , а2m , аm+1 , а2m-1.


Решение задач.

Задача 1

Дано: (с): - АП, с1 =0,62, d =0,24

Найти: с50

Решение:

с50 = с1 + 49d , с50 = 0,62 + 49 hello_html_7e6cc508.gif 0,24 = 12,38

Ответ: с50 = 12,38

Задача 2

Дано: (аn): 9; 11; 13; . . .

Найти: а36

Решение:

а36 = а1 + 35d,

а1 =9, d =a2a1 = 11- 9 = 2 а36 = 9 + 35 hello_html_7e6cc508.gif2 = 79

Ответ: а36 = 79.


Дополнительные сведения о членах арифметической прогрессии: пусть аn, аn+1, аn+2, аn+3члены АП, тогда


  1. аn + аn+3 = аn+1 + аn+2, (В четырех последовательных членах арифметической прогрессии - сумма крайних членов равна сумме средних членов.)

  2. аn+1 = (аn + аn+2)/2 (Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего члена)

Самостоятельно

Используя данные задачи 1 найдите с101 , сn , сn+1.


3.Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии.

Для нахождения формулы суммы решим следующую задачу:

найти сумму всех натуральных чисел от 1 до 100.

Эта задача связана с детскими годами замечательного немецкого математика Карла Гаусса (1777–1855 гг.). Когда ему было 9 лет, учитель задал эту задачу всему классу, чтобы дети не мешали ему проверять письменные работы учеников другого класса.

Через 1 минуту Карл произнес: «Я уже решил…» – и сдал работу. К концу урока сумму вычислили и остальные.


Найти сумму всех натуральных

чисел от 1 до 100.

Обозначим сумму этих чисел S.

S = 1 + 2 + 3 + 4 + …+ 98 + 99+ 100

S = 100 +99 +98 + … + 4 + 3 + 2 + 1

101 101 . . . 101 101

Сложим левые и правые части

2S = 101 + 101 +101 + . . . + 101= 101hello_html_7e6cc508.gif100 = 10100

100 раз

2S = 10100 S = 5050

Cумма всех натуральных чисел от 1 до 100 равна 5050.



Найдем сумму первых n членов арифметической прогрессии.

Sn =a1+a2+a3+ . . .+ an-2+an-1+an

Sn =an+an-1+an-2+. . .+ a3+a2+a1


a1+an a2+an-1 . . . an-1+a2 an+a1

Сложим левые и правые части

Рассмотрим суммы

a1+an

a2+an-1 =(a1 +d) +(an – d) =a1 +an

a3+an-2 =(a2 +d) +(an-1 –d)=a2 +an-1= a1 +an

. . .

an-1+a2= (an-2+d) +(a3 –d) = an-2+a3 = a1 +an

an+a1

Число пар по a1 + an равно n

2Sn = (a1 + an)hello_html_7e6cc508.gif n Sn =hello_html_2234db18.gif (1)

первая сумма первых n членов арифметической прогрессии .

Так как аn = а1 + (n-1)d получим вторую формулу:

Sn = (a1 + an)hello_html_4ed9f299.gif /2 = (а1 +а1 + (n-1)d)hello_html_7e6cc508.gifn/2 =

= hello_html_2a9fe649.gif hello_html_7e6cc508.gifn

Sn = hello_html_1d97b956.gifn (2)




Решение задач

Задача 3

Дано: (аn): 4; 8; 12 . . . – АП

Найти: S30

Решение:

S30 =hello_html_1f73a79d.gif 30

а1 = 4, d = a2 – a1 = 8 - 4 =4 S30 = hello_html_4713f654.gif = 1860


Ответ: S30 = 1860

Задача 4

Штангист поднимает штангу весом 45кг. С каждым подходом вес штанги увеличивается на 5 кг. Сколько кг поднимет штангист за 7 подходов?

Дано: арифметическая прогрессия,

а1=45,d=5 ,n=7

Найти: S7

Решение


hello_html_62a01709.gif




Ответ: за 7 подходов штангист поднимет 420кг

Самостоятельно:

1.Родители ко Дню рождения своего сына Андрея решили купить и обновить

ему мобильный телефон. Для этого они в первый месяц отложили 650 рублей,

в каждый последующий месяц они откладывали на 50 рублей больше, чем

предыдущий. Какая сумма будет у родителей Андрея через 10 месяцев?

2.Найдите сумму пятнадцати первых членов арифметической прогрессии:

4; -1; -6;... Решите задачу несколькими способами.


4.Арифметическая прогрессия в древности.


Первые представления о арифметической прогрессии были еще у древних народов.

Первые из дошедших до нас задач на прогрессии связаны с запросами хозяйственной жизни и общественной практики, например распределение продуктов, деление наследства и т.д.

В клинописных вавилонских табличках и египетских папирусах (второй век до н.в.) встречаются задачи на прогрессии и указания как их решать.

Вот вавилонская задача, в которой используется арифметическая прогрессия.

10 братьев делят 1 hello_html_6a1c94eb.gif мины серебра. Доли братьев составляют арифметическую прогрессию.

Задача из египетского папируса АХМЕСА: «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 человеками, разность же между каждым человеком и его соседом равна 1/8 меры».

Задача из папируса Ринда

Сто мер хлеба разделили между 5 людьми так, чтобы второй получил на столько же больше первого, на сколько третий получил больше второго, четвертый больше третьего и пятый больше четвертого. Кроме того, двое первых получили в 7 раз меньше трех остальных. Сколько нужно дать каждому?

Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским ученым. Ариабхатта (5 в.) применял формулы общего числа, суммы арифметической прогрессии.

Формула вычисления суммы n-первых членов арифметической прогрессии. Впервые, эта формула была доказана древнегреческим ученым Диофантом (III в. н. э.). Правило отыскания суммы n-первых членов произвольной арифметической прогрессии встречается в «книге Абаки» Л.Фибоначчи (1202г.).


Домашнее задание: П.25(до пр.2), п.26(до пр.2),

работа с материалами лекции,

Задачи на формулы (смотри лекцию).





Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Краткое описание документа:

Материал содержит конспект лекции «Арифметическая прогрессия» и презентацию к лекции. Урок посвящен изложению теоретического материала с выводом основных формул арифметической прогрессии. Лекция содержит план, необходимое оборудование к уроку, теоретический материал, задачи на применение  основных формул, домашнее задание. Урок сопровождается  показом презентации, что очень удобно при изучении нового материала. В материалах лекции указана деятельность учителя, самостоятельная работа учащихся. В  лекцию включен  исторический материал о прогрессиях.
Автор
Дата добавления 29.03.2014
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров884
Номер материала 44643032903
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх