130963
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
+Добавить материал
и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Дистанционные курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации для педагогов

Дистанционные курсы для педагогов - курсы профессиональной переподготовки от 6.900 руб.;
- курсы повышения квалификации от 1.500 руб.
Престижные документы для аттестации

ВЫБРАТЬ КУРС СО СКИДКОЙ 50%

ВНИМАНИЕ: Скидка действует ТОЛЬКО сейчас!

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности № 5201 выдана ООО "Инфоурок")

ИнфоурокМатематикаДругие методич. материалыУрок-лекция по математике для 9 класса «Арифметическая прогрессия»

Урок-лекция по математике для 9 класса «Арифметическая прогрессия»

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ АП 9кл.ppt

библиотека
материалов
Арифметическая прогрессия МКОУ Ударниковская ООШ Бутурлиновского муниципально...
Цель 	 Сформировать у обучающихся понятие арифметической прогрессии и научить...
Задачи 1.Ввести понятие арифметической прогрессии 2.Вывести формулы n-го член...
План лекции Определение арифметической прогрессии. Формула n-го члена арифмет...
Определение арифметической прогрессии 4; 7; 10; 13; 16; ; ; ; … 8; 3; -2; -7;...
Определение арифметической прогрессии Арифметической прогрессией называется ч...
1. 3; 6; 9; 12; … -1; -1; -1; … 0; 13; 1; 14; … -11; -6; -1; 4; 9;… -9; -11;-...
Определение арифметической прогрессии Чтобы задать АП достаточно указать ее п...
Формула n-го члена АП Дано: (аn) – арифметическая прогрессия, a1- первый член...
Формула n-го члена АП an = a1+ (n-1)d a21=a1+20d; a27=a1+26d a43=a1+42d; a34=...
Характеристическое свойство аn-1, аn, аn+1, Каждый член арифметической прогре...
Сумма n первых членов арифметической прогрессии Задача Найти сумму всех натур...
Сумма первых n членов арифметической прогрессии (1) (2)
Арифметическая прогрессия в древности Первые представления о арифметической п...
Задача из папируса Ринда Сто мер хлеба разделили между 5 людьми так, чтобы вт...
Итог урока Какая последовательность называется арифметической прогрессией? Пр...
Итог урока Определение арифметической прогрессии Формула n-го члена арифметич...
Домашнее задание П.25(до пр.2), п.26(до пр.2), Работа с материалами лекции, З...
Рефлексия Результатом своей личной работы считаю, что я .. А. Разобрался в те...
Вы можете использовать данное оформление для создания своих презентаций, но в...

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд Арифметическая прогрессия МКОУ Ударниковская ООШ Бутурлиновского муниципально
Описание слайда:

Арифметическая прогрессия МКОУ Ударниковская ООШ Бутурлиновского муниципального района Воронежской области Учитель: Диденко В.Е. 2013 г алгебра 9 класс

2 слайд Цель 	 Сформировать у обучающихся понятие арифметической прогрессии и научить
Описание слайда:

Цель Сформировать у обучающихся понятие арифметической прогрессии и научить применять формулы при решении практических задач.

3 слайд Задачи 1.Ввести понятие арифметической прогрессии 2.Вывести формулы n-го член
Описание слайда:

Задачи 1.Ввести понятие арифметической прогрессии 2.Вывести формулы n-го члена арифметической прогрессии, суммы n-первых членов арифметической прогрессии (изложение всего теоретического материала). 3. Активизация познавательной деятельности обучающихся. 4. Привитие навыков самостоятельности, ответственности, умения слушать и обобщать, вести диалог.  

4 слайд План лекции Определение арифметической прогрессии. Формула n-го члена арифмет
Описание слайда:

План лекции Определение арифметической прогрессии. Формула n-го члена арифметической прогрессии. Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии. Арифметическая прогрессия в древности.

5 слайд Определение арифметической прогрессии 4; 7; 10; 13; 16; ; ; ; … 8; 3; -2; -7;
Описание слайда:

Определение арифметической прогрессии 4; 7; 10; 13; 16; ; ; ; … 8; 3; -2; -7; -12; ; ; … Каков закон составления этих последовательностей? Составьте свою последовательность, используя тот же закон. Прогрессия - «движение вперед» 19 22 25 -17 -22

6 слайд Определение арифметической прогрессии Арифметической прогрессией называется ч
Описание слайда:

Определение арифметической прогрессии Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом. an+1 = an+d an+1 -an = d, d – разность арифметической прогрессии

7 слайд 1. 3; 6; 9; 12; … -1; -1; -1; … 0; 13; 1; 14; … -11; -6; -1; 4; 9;… -9; -11;-
Описание слайда:

1. 3; 6; 9; 12; … -1; -1; -1; … 0; 13; 1; 14; … -11; -6; -1; 4; 9;… -9; -11;-13; -15;… Чему равна разность арифметической прогрессии? d > 0 прогрессия возрастающая, d < 0 прогрессия убывающая ДА ДА НЕТ ДА ДА

8 слайд Определение арифметической прогрессии Чтобы задать АП достаточно указать ее п
Описание слайда:

Определение арифметической прогрессии Чтобы задать АП достаточно указать ее первый член и разность Пример 1. а1=1, d =1; (аn): Пример 2. а1=-2, d =-2; (аn): Пример 3. а1=1, d = 2; (аn): Пример 4. а1= 7, d = 0; (аn): 1; 2; 3; 4; . . . -2; -4; -6; -8; . . . 1; 3; 5; 7; . . . 7; 7; 7; 7; . . .

9 слайд Формула n-го члена АП Дано: (аn) – арифметическая прогрессия, a1- первый член
Описание слайда:

Формула n-го члена АП Дано: (аn) – арифметическая прогрессия, a1- первый член прогрессии, d – разность. a2 = a1 + d a3 = a2 + d = a4 = a3 + d = a5 = a4 + d = . . . an = (a1 + d) + d =a1+2d (a1+2d) +d = a1+3d (a1+3d) +d = a1+4d a1+ (n-1)d

10 слайд Формула n-го члена АП an = a1+ (n-1)d a21=a1+20d; a27=a1+26d a43=a1+42d; a34=
Описание слайда:

Формула n-го члена АП an = a1+ (n-1)d a21=a1+20d; a27=a1+26d a43=a1+42d; a34=a1+33d a200=a1+199d

11 слайд Характеристическое свойство аn-1, аn, аn+1, Каждый член арифметической прогре
Описание слайда:

Характеристическое свойство аn-1, аn, аn+1, Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов.

12 слайд Сумма n первых членов арифметической прогрессии Задача Найти сумму всех натур
Описание слайда:

Сумма n первых членов арифметической прогрессии Задача Найти сумму всех натуральных чисел от 1 до 100. Эта задача связана с детскими годами замечательного немецкого математика Карла Гаусса (1777–1855 гг.). Когда ему было 9 лет, учитель задал эту задачу всему классу, чтобы дети не мешали ему проверять письменные работы учеников другого класса. Через 1 минуту Карл произнес: «Я уже решил…» – и сдал работу. К концу урока сумму вычислили и остальные.

13 слайд Сумма первых n членов арифметической прогрессии (1) (2)
Описание слайда:

Сумма первых n членов арифметической прогрессии (1) (2)

14 слайд Арифметическая прогрессия в древности Первые представления о арифметической п
Описание слайда:

Арифметическая прогрессия в древности Первые представления о арифметической прогрессии были еще у древних народов. Первые из дошедших до нас задач на прогрессии связаны с запросами хозяйственной жизни и общественной практики, например распределение продуктов, деление наследства и т.д. В клинописных вавилонских табличках и египетских папирусах (второй век до н.в.) встречаются задачи на прогрессии и указания как их решать.

15 слайд Задача из папируса Ринда Сто мер хлеба разделили между 5 людьми так, чтобы вт
Описание слайда:

Задача из папируса Ринда Сто мер хлеба разделили между 5 людьми так, чтобы второй получил на столько же больше первого, на сколько третий получил больше второго, четвертый больше третьего и пятый больше четвертого. Кроме того, двое первых получили в 7 раз меньше трех остальных. Сколько нужно дать каждому?

16 слайд Итог урока Какая последовательность называется арифметической прогрессией? Пр
Описание слайда:

Итог урока Какая последовательность называется арифметической прогрессией? Приведите примеры. Что такое разность прогрессии, как ее вычислить? Способы задания арифметической прогрессии?

17 слайд Итог урока Определение арифметической прогрессии Формула n-го члена арифметич
Описание слайда:

Итог урока Определение арифметической прогрессии Формула n-го члена арифметической прогрессии Свойство каждого члена арифметической прогрессии Сумма первых n членов арифметической прогрессии Формула разности арифметической прогрессии аn+1= аn + d аn+1 – an = d аn = а1 + (n-1)d

18 слайд Домашнее задание П.25(до пр.2), п.26(до пр.2), Работа с материалами лекции, З
Описание слайда:

Домашнее задание П.25(до пр.2), п.26(до пр.2), Работа с материалами лекции, Задачи на формулы (смотри лекцию).  

19 слайд Рефлексия Результатом своей личной работы считаю, что я .. А. Разобрался в те
Описание слайда:

Рефлексия Результатом своей личной работы считаю, что я .. А. Разобрался в теории. В. Научился решать задачи. С. Повторил весь ранее изученный материал. 2.Что вам не хватало на уроке при решении задач? А. Знаний. Б. Времени. С. Желания. Д. Решал нормально.

20 слайд Вы можете использовать данное оформление для создания своих презентаций, но в
Описание слайда:

Вы можете использовать данное оформление для создания своих презентаций, но в своей презентации вы должны указать источник шаблона: Ранько Елена Алексеевна учитель начальных классов МАОУ лицей №21 г. Иваново Сайт: http://pedsovet.su/

Выбранный для просмотра документ УрокАП.docx

библиотека
материалов
Скачать материал целиком можно бесплатно по ссылке внизу страницы.

hello_html_m1d0e465f.gifhello_html_m4425797c.gifhello_html_m695a8987.gifhello_html_m695a8987.gifhello_html_m695a8987.gifhello_html_m695a8987.gifhello_html_5554645.gifhello_html_532ba7a3.gifhello_html_40838eaa.gifhello_html_40838eaa.gifhello_html_40838eaa.gifhello_html_m61703edf.gifhello_html_3763683b.gifhello_html_79451ad0.gifhello_html_m4ddac899.gifМКОУ Ударниковская основная общеобразовательная школа

Бутурлиновского муниципального района







Урок-лекция



Тема: Арифметическая прогрессия















Учитель математики:

Диденко В.Е.









2013г


Цель: Сформировать у обучающихся понятие арифметической прогрессии и научить применять формулы к решению практических задач.



Задачи: 1.Ввести понятие арифметической прогрессии

2.Вывести формулы n-го члена арифметической прогрессии, суммы n-первых членов арифметической прогрессии (изложение всего теоретического материала).

3. Активизация познавательной деятельности обучающихся;

4. Привитие навыков самостоятельности, ответственности, умения слушать и обобщать, вести диалог.





Оборудование: экран, проектор, компьютер, маркеры разного цвета, презентация « Арифметическая прогрессия», учебник «Алгебра 9 кл.»,









План лекции:

1.Определение арифметической прогрессии.

2.Формула n -го члена арифметической прогрессии.

3.Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии.

4. Арифметическая прогрессия в древности.








1.Определение арифметической прогрессии.

Рассмотрим последовательности чисел:

4; 7; 10; 13; 16; . . .

8; 3; -2; -7; -12; . . .

Каков закон составления этих последовательностей?

Начиная со второго члена каждый последующий равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом

аn+1= аn + d

Самостоятельно

Составь свою последовательность, используя тот же закон.



Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

Термин «прогрессия» имеет латинское происхождение (progression), что означает «движение вперед» и был введен римским автором Боэцием (VI в.).


Из определения арифметической прогрессии следует, что аn+1an = d

Число d называется разностью арифметической прогрессии.

Чтобы задать арифметическую прогрессию достаточно указать ее первый член и разность.

Пример 1. а1 =1, d =1; (аn): 1; 2; 3; 4; . . .

Пример 2. а1 = -2, d = -2; (аn): -2; -4; -6; -8; . . .

Пример 3. а1 =1, d =2; (аn): 1; 3; 5; 7; 9; . . .

Пример 4. а1 =7, d =0; (аn): 7; 7; 7; 7; . . .


  • Если в арифметической прогрессии разность положительна (d>0), то прогрессия является возрастающей.

  • Если в арифметической прогрессии разность отрицательна (d<0), то прогрессия является убывающей.

  • В случае, если разность равна нулю (d=0) и все члены прогрессии равны одному и тому же числу, последовательность называется стационарной.

Самостоятельно

Укажите первый член, разность и задайте арифметическую прогрессию.



2.Формула n -го члена арифметической прогрессии.

Зная первый член и разность можно найти любой член арифметической прогрессии, но способ неудобен.

а2 = а1 + d

а3 = а2 + d = (а1 + d) + d = а1 + 2d

а4 = а3 + d= (а1 + 2d) +d = а1 + 3d

а5 = а4 + d= (а1 + 3d)+ d = а1 + 4d и т.д.


аn = а1 + (n-1)d формула n-го члена арифметической прогрессии.

Применим выведенную формулу для членов прогрессии

а21, а27, а43, а34, а200

a21=a1+20d; a27=a1+26d

a43=a1+42d; a34=a1+33d

a200=a1+199d

Самостоятельно

Используя формулу, распишите следующие члены прогрессии: а29, а46, а96, а203, аm , а2m , аm+1 , а2m-1.


Решение задач.

Задача 1

Дано: (с): - АП, с1 =0,62, d =0,24

Найти: с50

Решение:

с50 = с1 + 49d , с50 = 0,62 + 49 hello_html_7e6cc508.gif 0,24 = 12,38

Ответ: с50 = 12,38

Задача 2

Дано: (аn): 9; 11; 13; . . .

Найти: а36

Решение:

а36 = а1 + 35d,

а1 =9, d =a2a1 = 11- 9 = 2 а36 = 9 + 35 hello_html_7e6cc508.gif2 = 79

Ответ: а36 = 79.


Дополнительные сведения о членах арифметической прогрессии: пусть аn, аn+1, аn+2, аn+3члены АП, тогда


  1. аn + аn+3 = аn+1 + аn+2, (В четырех последовательных членах арифметической прогрессии - сумма крайних членов равна сумме средних членов.)

  2. аn+1 = (аn + аn+2)/2 (Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего члена)

Самостоятельно

Используя данные задачи 1 найдите с101 , сn , сn+1.


3.Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии.

Для нахождения формулы суммы решим следующую задачу:

найти сумму всех натуральных чисел от 1 до 100.

Эта задача связана с детскими годами замечательного немецкого математика Карла Гаусса (1777–1855 гг.). Когда ему было 9 лет, учитель задал эту задачу всему классу, чтобы дети не мешали ему проверять письменные работы учеников другого класса.

Через 1 минуту Карл произнес: «Я уже решил…» – и сдал работу. К концу урока сумму вычислили и остальные.


Найти сумму всех натуральных

чисел от 1 до 100.

Обозначим сумму этих чисел S.

S = 1 + 2 + 3 + 4 + …+ 98 + 99+ 100

S = 100 +99 +98 + … + 4 + 3 + 2 + 1

101 101 . . . 101 101

Сложим левые и правые части

2S = 101 + 101 +101 + . . . + 101= 101hello_html_7e6cc508.gif100 = 10100

100 раз

2S = 10100 S = 5050

Cумма всех натуральных чисел от 1 до 100 равна 5050.



Найдем сумму первых n членов арифметической прогрессии.

Sn =a1+a2+a3+ . . .+ an-2+an-1+an

Sn =an+an-1+an-2+. . .+ a3+a2+a1


a1+an a2+an-1 . . . an-1+a2 an+a1

Сложим левые и правые части

Рассмотрим суммы

a1+an

a2+an-1 =(a1 +d) +(an – d) =a1 +an

a3+an-2 =(a2 +d) +(an-1 –d)=a2 +an-1= a1 +an

. . .

an-1+a2= (an-2+d) +(a3 –d) = an-2+a3 = a1 +an

an+a1

Число пар по a1 + an равно n

2Sn = (a1 + an)hello_html_7e6cc508.gif n Sn =hello_html_2234db18.gif (1)

первая сумма первых n членов арифметической прогрессии .

Так как аn = а1 + (n-1)d получим вторую формулу:

Sn = (a1 + an)hello_html_4ed9f299.gif /2 = (а1 +а1 + (n-1)d)hello_html_7e6cc508.gifn/2 =

= hello_html_2a9fe649.gif hello_html_7e6cc508.gifn

Sn = hello_html_1d97b956.gifn (2)




Решение задач

Задача 3

Дано: (аn): 4; 8; 12 . . . – АП

Найти: S30

Решение:

S30 =hello_html_1f73a79d.gif 30

а1 = 4, d = a2 – a1 = 8 - 4 =4 S30 = hello_html_4713f654.gif = 1860


Ответ: S30 = 1860

Задача 4

Штангист поднимает штангу весом 45кг. С каждым подходом вес штанги увеличивается на 5 кг. Сколько кг поднимет штангист за 7 подходов?

Дано: арифметическая прогрессия,

а1=45,d=5 ,n=7

Найти: S7

Решение


hello_html_62a01709.gif




Ответ: за 7 подходов штангист поднимет 420кг

Самостоятельно:

1.Родители ко Дню рождения своего сына Андрея решили купить и обновить

ему мобильный телефон. Для этого они в первый месяц отложили 650 рублей,

в каждый последующий месяц они откладывали на 50 рублей больше, чем

предыдущий. Какая сумма будет у родителей Андрея через 10 месяцев?

2.Найдите сумму пятнадцати первых членов арифметической прогрессии:

4; -1; -6;... Решите задачу несколькими способами.


4.Арифметическая прогрессия в древности.


Первые представления о арифметической прогрессии были еще у древних народов.

Первые из дошедших до нас задач на прогрессии связаны с запросами хозяйственной жизни и общественной практики, например распределение продуктов, деление наследства и т.д.

В клинописных вавилонских табличках и египетских папирусах (второй век до н.в.) встречаются задачи на прогрессии и указания как их решать.

Вот вавилонская задача, в которой используется арифметическая прогрессия.

10 братьев делят 1 hello_html_6a1c94eb.gif мины серебра. Доли братьев составляют арифметическую прогрессию.

Задача из египетского папируса АХМЕСА: «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 человеками, разность же между каждым человеком и его соседом равна 1/8 меры».

Задача из папируса Ринда

Сто мер хлеба разделили между 5 людьми так, чтобы второй получил на столько же больше первого, на сколько третий получил больше второго, четвертый больше третьего и пятый больше четвертого. Кроме того, двое первых получили в 7 раз меньше трех остальных. Сколько нужно дать каждому?

Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским ученым. Ариабхатта (5 в.) применял формулы общего числа, суммы арифметической прогрессии.

Формула вычисления суммы n-первых членов арифметической прогрессии. Впервые, эта формула была доказана древнегреческим ученым Диофантом (III в. н. э.). Правило отыскания суммы n-первых членов произвольной арифметической прогрессии встречается в «книге Абаки» Л.Фибоначчи (1202г.).


Домашнее задание: П.25(до пр.2), п.26(до пр.2),

работа с материалами лекции,

Задачи на формулы (смотри лекцию).




Краткое описание документа:
Материал содержит конспект лекции «Арифметическая прогрессия» и презентацию к лекции. Урок посвящен изложению теоретического материала с выводом основных формул арифметической прогрессии. Лекция содержит план, необходимое оборудование к уроку, теоретический материал, задачи на применение  основных формул, домашнее задание. Урок сопровождается  показом презентации, что очень удобно при изучении нового материала. В материалах лекции указана деятельность учителя, самостоятельная работа учащихся. В  лекцию включен  исторический материал о прогрессиях.
Общая информация

Номер материала: 44643032903

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Оставьте свой комментарий
Для того чтобы задавать вопросы нужно авторизироватся.
Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.