Выбранный для просмотра документ АП 9кл.ppt
Скачать материал "Урок-лекция по математике для 9 класса «Арифметическая прогрессия»"
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
Арифметическая прогрессия
МКОУ Ударниковская ООШ
Бутурлиновского муниципального района
Воронежской области
Учитель: Диденко В.Е.
2013 г
алгебра 9 класс
2 слайд
Цель
Сформировать у обучающихся понятие арифметической прогрессии и научить применять формулы при решении практических задач.
3 слайд
Задачи
1.Ввести понятие арифметической прогрессии
2.Вывести формулы n-го члена арифметической прогрессии, суммы n-первых членов арифметической прогрессии (изложение всего теоретического материала).
3. Активизация познавательной деятельности обучающихся.
4. Привитие навыков самостоятельности, ответственности, умения слушать и обобщать, вести диалог.
4 слайд
План лекции
Определение арифметической прогрессии.
Формула n-го члена арифметической прогрессии.
Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии.
Арифметическая прогрессия в древности.
5 слайд
Определение арифметической прогрессии
4; 7; 10; 13; 16; ; ; ; …
8; 3; -2; -7; -12; ; ; …
Каков закон составления этих последовательностей?
Составьте свою последовательность, используя тот же закон.
Прогрессия - «движение вперед»
19
22
25
-17
-22
6 слайд
Определение арифметической прогрессии
Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом. an+1 = an+d
an+1 -an = d,
d – разность арифметической прогрессии
7 слайд
Является ли заданная последовательность арифметической прогрессией, почему?
1. 3; 6; 9; 12; …
-1; -1; -1; …
0; 13; 1; 14; …
-11; -6; -1; 4; 9;…
-9; -11;-13; -15;…
Чему равна разность арифметической прогрессии?
d > 0 прогрессия возрастающая,
d < 0 прогрессия убывающая
ДА
ДА
НЕТ
ДА
ДА
8 слайд
Определение арифметической прогрессии
Чтобы задать АП достаточно указать ее первый член и разность
Пример 1. а1=1, d =1; (аn):
Пример 2. а1=-2, d =-2; (аn):
Пример 3. а1=1, d = 2; (аn):
Пример 4. а1= 7, d = 0; (аn):
1; 2; 3; 4; . . .
-2; -4; -6; -8; . . .
1; 3; 5; 7; . . .
7; 7; 7; 7; . . .
9 слайд
Формула n-го члена АП
Дано: (аn) – арифметическая прогрессия, a1- первый член прогрессии, d – разность.
a2 = a1 + d
a3 = a2 + d =
a4 = a3 + d =
a5 = a4 + d =
. . .
an =
(a1 + d) + d =a1+2d
(a1+2d) +d = a1+3d
(a1+3d) +d = a1+4d
a1+ (n-1)d
10 слайд
Формула n-го члена АП
an = a1+ (n-1)d
a21=a1+20d; a27=a1+26d
a43=a1+42d; a34=a1+33d
a200=a1+199d
11 слайд
Характеристическое свойство
аn-1, аn, аn+1,
Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов.
12 слайд
Сумма n первых членов арифметической прогрессии
Задача
Найти сумму всех натуральных
чисел от 1 до 100.
Эта задача связана с детскими годами
замечательного немецкого математика
Карла Гаусса (1777–1855 гг.). Когда ему было 9 лет, учитель задал эту задачу всему классу, чтобы дети не мешали ему проверять письменные работы учеников другого класса.
Через 1 минуту Карл произнес: «Я уже решил…» – и сдал работу. К концу урока сумму вычислили и остальные.
13 слайд
Сумма первых n членов арифметической прогрессии
(1)
(2)
14 слайд
Арифметическая прогрессия в древности
Первые представления о арифметической прогрессии были еще у древних народов.
Первые из дошедших до нас задач на прогрессии связаны с запросами хозяйственной жизни и общественной практики, например распределение продуктов, деление наследства и т.д.
В клинописных вавилонских табличках и египетских папирусах (второй век до н.в.) встречаются задачи на прогрессии и указания как их решать.
15 слайд
Задача из папируса Ринда
Сто мер хлеба разделили между 5 людьми так, чтобы второй получил на столько же больше первого, на сколько третий получил больше второго, четвертый больше третьего и пятый больше четвертого. Кроме того, двое первых получили в 7 раз меньше трех остальных. Сколько нужно дать каждому?
16 слайд
Итог урока
Какая последовательность называется арифметической прогрессией? Приведите примеры.
Что такое разность прогрессии, как ее вычислить?
Способы задания арифметической прогрессии?
17 слайд
Итог урока
Определение
арифметической
прогрессии
Формула n-го члена
арифметической
прогрессии
Свойство каждого
члена арифметической
прогрессии
Сумма первых n членов
арифметической
прогрессии
Формула разности
арифметической
прогрессии
аn+1= аn + d
аn+1 – an = d
аn = а1 + (n-1)d
18 слайд
Домашнее задание
П.25(до пр.2), п.26(до пр.2),
Работа с материалами лекции,
Задачи на формулы (смотри лекцию).
19 слайд
Рефлексия
Результатом своей личной работы считаю, что я ..
А. Разобрался в теории. В. Научился решать задачи.
С. Повторил весь ранее изученный материал.
2.Что вам не хватало на уроке при решении задач?
А. Знаний. Б. Времени. С. Желания.
Д. Решал нормально.
20 слайд
Вы можете использовать
данное оформление
для создания своих презентаций,
но в своей презентации вы должны указать
источник шаблона:
Ранько Елена Алексеевна
учитель начальных классов
МАОУ лицей №21
г. Иваново
Сайт: http://pedsovet.su/
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ УрокАП.docx
МКОУ Ударниковская основная общеобразовательная школа
Бутурлиновского муниципального района
Урок-лекция
Тема: Арифметическая прогрессия
Учитель математики:
Диденко В.Е.
2013г
Цель: Сформировать у обучающихся понятие арифметической прогрессии и научить применять формулы к решению практических задач.
Задачи: 1.Ввести понятие арифметической прогрессии
2.Вывести формулы n-го члена арифметической прогрессии, суммы n-первых членов арифметической прогрессии (изложение всего теоретического материала).
3. Активизация познавательной деятельности обучающихся;
4. Привитие навыков самостоятельности, ответственности, умения слушать и обобщать, вести диалог.
Оборудование: экран, проектор, компьютер, маркеры разного цвета, презентация « Арифметическая прогрессия», учебник «Алгебра 9 кл.»,
1.Определение арифметической прогрессии.
2.Формула n -го члена арифметической прогрессии.
3.Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии.
4. Арифметическая прогрессия в древности.
1.Определение арифметической прогрессии.
Рассмотрим последовательности чисел:
4; 7; 10; 13; 16; . . .
8; 3; -2; -7; -12; . . .
Каков закон составления этих последовательностей?
Начиная со второго члена каждый последующий равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом
аn+1= аn + d
Самостоятельно
Составь свою последовательность, используя тот же закон.
|
|
Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.
Термин «прогрессия» имеет латинское происхождение (progression), что означает «движение вперед» и был введен римским автором Боэцием (VI в.).
Из определения арифметической прогрессии следует, что аn+1 – an = d
Число d называется разностью арифметической прогрессии.
Чтобы задать арифметическую прогрессию достаточно указать ее первый член и разность.
Пример 1. а1 =1, d =1; (аn): 1; 2; 3; 4; . . .
Пример 2. а1 = -2, d = -2; (аn): -2; -4; -6; -8; . . .
Пример 3. а1 =1, d =2; (аn): 1; 3; 5; 7; 9; . . .
Пример 4. а1 =7, d =0; (аn): 7; 7; 7; 7; . . .
Если в арифметической прогрессии разность положительна (d>0), то прогрессия является возрастающей.
Если в арифметической прогрессии разность отрицательна (d<0), то прогрессия является убывающей.
В случае, если разность равна нулю (d=0) и все члены прогрессии равны одному и тому же числу, последовательность называется стационарной.
Самостоятельно
Укажите первый член, разность и задайте арифметическую прогрессию.
|
|
2.Формула n -го члена арифметической прогрессии.
Зная первый член и разность можно найти любой член арифметической прогрессии, но способ неудобен.
а2 = а1 + d
а3 = а2 + d = (а1 + d) + d = а1 + 2d
а4 = а3 + d= (а1 + 2d) +d = а1 + 3d
а5 = а4 + d= (а1 + 3d)+ d = а1 + 4d и т.д.
аn = а1 + (n-1)d формула n-го члена арифметической прогрессии.
Применим выведенную формулу для членов прогрессии
а21, а27, а43, а34, а200
a21=a1+20d; a27=a1+26d
a43=a1+42d; a34=a1+33d
a200=a1+199d
Самостоятельно
Используя формулу, распишите следующие члены прогрессии: а29, а46, а96, а203, аm , а2m , аm+1 , а2m-1.
Решение задач.
Задача 1
Дано: (с): - АП, с1 =0,62, d =0,24
Найти: с50
Решение:
с50
= с1 + 49d , с50 = 0,62 +
49 
0,24 = 12,38
Ответ: с50 = 12,38
Задача 2
Дано: (аn): 9; 11; 13; . . .
Найти: а36
Решение:
а36 = а1 + 35d,
а1 =9, d
=a2
– a1
= 11- 9 = 2 а36 = 9
+ 35 
2 = 79
Ответ: а36 = 79.
Дополнительные сведения о членах арифметической прогрессии: пусть аn, аn+1, аn+2, аn+3 – члены АП, тогда
1) аn + аn+3 = аn+1 + аn+2, (В четырех последовательных членах арифметической прогрессии - сумма крайних членов равна сумме средних членов.)
2) аn+1 = (аn + аn+2)/2 (Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего члена)
Самостоятельно
Используя данные задачи 1 найдите с101 , сn , сn+1.
3.Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии.
Для нахождения формулы суммы решим следующую задачу:
найти сумму всех натуральных чисел от 1 до 100.
Эта задача связана с детскими годами замечательного немецкого математика Карла Гаусса (1777–1855 гг.). Когда ему было 9 лет, учитель задал эту задачу всему классу, чтобы дети не мешали ему проверять письменные работы учеников другого класса.
Через 1 минуту Карл произнес: «Я уже решил…» – и сдал работу. К концу урока сумму вычислили и остальные.
|
Найти сумму всех натуральных чисел от 1 до 100. Обозначим сумму этих чисел S. S = 1 + 2 + 3 + 4 + …+ 98 + 99+ 100
101 101 . . . 101 101 Сложим левые и правые части
100 раз
Cумма всех натуральных чисел от 1 до 100 равна 5050.
|
Найдем сумму первых n членов арифметической прогрессии. Sn =a1+a2+a3+ . . .+ an-2+an-1+an
a1+an a2+an-1 . . . an-1+a2 an+a1 Сложим левые и правые части Рассмотрим суммы a1+an a2+an-1 =(a1 +d) +(an – d) =a1 +an a3+an-2 =(a2 +d) +(an-1 –d)=a2 +an-1= a1 +an . . . an-1+a2= (an-2+d) +(a3 –d) = an-2+a3 = a1 +an an+a1
первая сумма первых n членов арифметической прогрессии . Так как аn = а1 + (n-1)d получим вторую формулу: Sn
= (a1 + an) =
Sn =
|
Решение задач
Задача 3
Дано: (аn): 4; 8; 12 . . . – АП
Найти: S30
Решение:
S30 =
30
а1 = 4, d = a2 – a1 =
8 - 4 =4 S30 = 
= 1860
Ответ: S30 = 1860
Задача 4
Штангист поднимает штангу весом 45кг. С каждым подходом вес штанги увеличивается на 5 кг. Сколько кг поднимет штангист за 7 подходов?
Дано: арифметическая прогрессия,
а1=45,d=5 ,n=7
Найти: S7
Решение
Ответ: за 7 подходов штангист поднимет 420кг
Самостоятельно:
1.Родители ко Дню рождения своего сына Андрея решили купить и обновить
ему мобильный телефон. Для этого они в первый месяц отложили 650 рублей,
в каждый последующий месяц они откладывали на 50 рублей больше, чем
предыдущий. Какая сумма будет у родителей Андрея через 10 месяцев?
2.Найдите сумму пятнадцати первых членов арифметической прогрессии:
4; -1; -6;... Решите задачу несколькими способами.
4.Арифметическая прогрессия в древности.
Первые представления о арифметической прогрессии были еще у древних народов.
Первые из дошедших до нас задач на прогрессии связаны с запросами хозяйственной жизни и общественной практики, например распределение продуктов, деление наследства и т.д.
В клинописных вавилонских табличках и египетских папирусах (второй век до н.в.) встречаются задачи на прогрессии и указания как их решать.
Вот вавилонская задача, в которой используется арифметическая прогрессия.
10
братьев делят 1 
мины серебра. Доли братьев составляют
арифметическую прогрессию.
Задача из египетского папируса АХМЕСА: «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 человеками, разность же между каждым человеком и его соседом равна 1/8 меры».
Задача из папируса Ринда
Сто мер хлеба разделили между 5 людьми так, чтобы второй получил на столько же больше первого, на сколько третий получил больше второго, четвертый больше третьего и пятый больше четвертого. Кроме того, двое первых получили в 7 раз меньше трех остальных. Сколько нужно дать каждому?
Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским ученым. Ариабхатта (5 в.) применял формулы общего числа, суммы арифметической прогрессии.
Формула вычисления суммы n-первых членов арифметической прогрессии. Впервые, эта формула была доказана древнегреческим ученым Диофантом (III в. н. э.). Правило отыскания суммы n-первых членов произвольной арифметической прогрессии встречается в «книге Абаки» Л.Фибоначчи (1202г.).
Домашнее задание: П.25(до пр.2), п.26(до пр.2),
работа с материалами лекции,
Задачи на формулы (смотри лекцию).
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Материал содержит конспект лекции «Арифметическая прогрессия» и презентацию к лекции. Урок посвящен изложению теоретического материала с выводом основных формул арифметической прогрессии. Лекция содержит план, необходимое оборудование к уроку, теоретический материал, задачи на применение основных формул, домашнее задание. Урок сопровождается показом презентации, что очень удобно при изучении нового материала. В материалах лекции указана деятельность учителя, самостоятельная работа учащихся. В лекцию включен исторический материал о прогрессиях.
6 664 606 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Диденко Валентина Егоровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс повышения квалификации
72/144/180 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Мини-курс
6 ч.
Мини-курс
3 ч.
Мини-курс
6 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.