методическая разработка для элективного курса.

Иррациональные неравенства Если в неравенство входят функции под знаком корня, то такие неравенства называют иррациональными . Стандартный метод решения этих неравенств заключается в возведении обеих частей неравенства в нужную степень: если в неравенство входит квадратный корень, то в квадрат; входит корень третьей степени − в куб и т. д. Однако, как было показано выше в правиле 4 преобразования неравенств, возводить в квадрат, не нарушая равносильности, можно только неравенство, у которого обе части неотрицательны. При возведении же в квадрат неравенств, части которых имеют разные знаки, могут получиться неравенства, как равносильные исходному, так и неравносильные ему. Простой пример: –1 < 3 − верное неравенство, − тоже верное неравенство. Несмотря на то, что –4 < –1 − неравенство верное, неравенство уже верным не является. Покажем, как получить равносильные системы для некоторых часто встречающихся типов неравенств. Неравенства вида Если x лежит в ОДЗ: f  ( x ) ≥ 0, то левая часть неравенства существует и неотрицательна. Поскольку для всех x , являющихся решением данного неравенства, правая часть больше левой, то g  ( x ) > 0. Следовательно, обе части неравенства неотрицательны (для тех x , которые являются решениями неравенства, другие x нас не интересуют). Значит, возведение в квадрат не нарушает равносильности и можно записать равносильную нашему неравенству систему неравенств: Пример 1 Решите неравенство Показать решение Сразу перейдём к равносильной системе: Ответ.   Пример 2 Решите неравенство Показать решение Перейдём к равносильной системе: Ответ.   Неравенства вида ОДЗ данного неравенства f  ( x ) ≥ 0. Пусть для каких-то x  из ОДЗ g  ( x ) < 0. Тогда, очевидно, все эти x − решения, так как при этих x левая часть определена ( x   ОДЗ) и неотрицательна, в то время как правая часть g  ( x ) < 0. Для других x  из ОДЗ g  ( x ) ≥ 0. Для них обе части неравенства неотрицательны, и его можно возвести в квадрат: Значит, данное неравенство равносильно совокупности неравенств: Заметим, что в последнюю систему не входит требование f  ( x ) ≥ 0. Оно и не нужно, так как выполняется автоматически ибо полный квадрат всегда неотрицателен. Пример 3 Решите неравенство Показать решение ОДЗ неравенства: x  ≥ –3. 1. Если то все эти x   ОДЗ, для которых верно x  < –1, − решения. Таким образом, − первая часть ответа. 2. Если то обе части неравенства неотрицательны, и его можно возвести в квадрат. Имеем: Получаем, что решениями являются все Объединяя результаты пунктов 1 и 2, получаем: Ответ.   Пример 4 Решите неравенство Показать решение ОДЗ данного неравенства: Будем рассматривать только эти x , другие x не могут являться решениями данного неравенства. 1. Если то есть то все такие x  из ОДЗ, удовлетворяющие этому условию, являются решениями неравенства. Значит, все x  ≤ –3 − решения неравенства. 2. Если то есть а с учетом ОДЗ это означает, что то обе части неравенства неотрицательны. Возведём обе части неравенства в квадрат: Уравнение имеет корни и Значит, решением неравенства являются С учётом получается, что на данном множестве решениями являются Объединяя результаты пунктов 1 и 2, получаем Запишем это решение другим способом: Ответ.   Неравенства вида ОДЗ данного неравенства: Обе части неравенства неотрицательны в ОДЗ, и потому можно возводить в квадрат. Получим равносильную систему Заметим, что из неравенства следует, что то есть дополнительно это требовать и включать это неравенство в систему не нужно. Отметим полезное следствие. Предположим, что ОДЗ неравенства уже найдено, и мы будем отбирать решения только из ОДЗ (это разумно, поскольку вне ОДЗ решений нет). Тогда исходное неравенство равносильно следующему: а та система, которой это неравенство равносильно, может быть представлена (для x из ОДЗ) в виде Следовательно, в ОДЗ Ясно, что те же рассуждения применимы и для знака неравенства ≥. Отсюда можно сделать полезное заключение: Знак разности совпадает со знаком выражения Отсюда же получается ещё одно полезное следствие: в ОДЗ: Пример 5 Решите неравенство Показать решение Перейдём к равносильной системе: Решая эту систему методом интервалов, сразу получаем: Ответ.   Пример 6 Решите неравенство Показать решение ОДЗ данного неравенства: Заметим, что в ОДЗ x  ≥ 0, поэтому существует и значит, Мы воспользовались здесь тем, что в ОДЗ x  ≥ 0, ( x  – 5)( x  – 6) ≥ 0 и потому существуют выписанные в последней строчке корни. Кроме того, мы вынесли за скобку который по вышесказанному существует. Этот корень неотрицателен и потому не влияет на знак неравенства, следовательно, на него можно сократить, не забывая, что он может ещё обратиться в нуль и те x , для которых корень обращается в нуль, являются решениями неравенства. Таким образом, в ответ необходимо включить число x  = 5. При x  = 6 корень обращается в нуль, но x  = 6 не входит в ОДЗ неравенства. Воспользуемся теперь тем, что знак разности корней совпадает со знаком разности подкоренных выражений. Имеем: Учтём теперь ОДЗ и получим: Ответ.   Неравенства вида ОДЗ данного неравенства: Предположим, что функции f  ( x ) и g  ( x ) не имеют общих корней. Рассмотрим вспомогательное неравенство (*) 1. Если g  ( x ) < 0, то для любого x из ОДЗ выполнено 2. Если g  ( x ) ≥ 0, то выражение может иметь любой знак, но выражение всегда строго положительно. Умножая обе части неравенства (*) на строго положительное число не меняя знака неравенства, перейдём к равносильному неравенству Таким образом, в ОДЗ Значит, при g  ( x ) ≥ 0, знак разности совпадает со знаком разности в ОДЗ. Получаем следующие условия равносильности. Запоминать приведённые системы неравенств не нужно, важно понимать, как они получаются. Пример 7 Решите неравенство Показать решение Выполним равносильные в ОДЗ преобразования и приведём неравенство к удобному для применения результатов настоящего пункта виду. Мы не случайно сделали последнее преобразование. Важно понимать, чему здесь конкретно равняется функция g  ( x ) = 2 x  – 8. Типичной ошибкой является считать, что g  ( x ) = 2 x  + 8. ОДЗ данного неравенства: то есть Теперь перейдём к равносильной системе. В ОДЗ С учётом ОДЗ сразу получаем: Ответ.   Смотреть изменение     Изменить блок текста Добавить блок текста Добавить Страницу

---

ммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммм

Краткое описание документа:

Иррациональные неравенства

Если в неравенство входят функции под знаком корня, то такие неравенства называют иррациональными .

Стандартный метод решения этих неравенств заключается в возведении обеих частей неравенства в нужную степень: если в неравенство входит квадратный корень, то в квадрат; входит корень третьей степени − в куб и т. д. Однако,  возводить в квадрат, не нарушая равносильности, можно только неравенство, у которого обе части неотрицательны. При возведении же в квадрат неравенств, части которых имеют разные знаки, могут получиться неравенства, как равносильные исходному, так и неравносильные ему. Простой пример: –1 < 3 − верное неравенство. Несмотря на то, что –4 < –1 − неравенство верное, неравенство  16 меньше 1,уже верным не является.