Методическая разработка для элективного курса.

DOCX

Иррациональные неравенства

Если в неравенство входят функции под знаком корня, то такие неравенства называют иррациональными .

Стандартный метод решения этих неравенств заключается в возведении обеих частей неравенства в нужную степень: если в неравенство входит квадратный корень, то в квадрат; входит корень третьей степени − в куб и т. д. Однако, как было показано выше в правиле 4 преобразования неравенств, возводить в квадрат, не нарушая равносильности, можно только неравенство, у которого обе части неотрицательны. При возведении же в квадрат неравенств, части которых имеют разные знаки, могут получиться неравенства, как равносильные исходному, так и неравносильные ему. Простой пример: –1 < 3 − верное неравенство, − тоже верное неравенство. Несмотря на то, что –4 < –1 − неравенство верное, неравенство уже верным не является.

Покажем, как получить равносильные системы для некоторых часто встречающихся типов неравенств.

Неравенства вида

Если x лежит в ОДЗ: f ( x ) ≥ 0, то левая часть неравенства существует и неотрицательна. Поскольку для всех x , являющихся решением данного неравенства, правая часть больше левой, то g ( x ) > 0. Следовательно, обе части неравенства неотрицательны (для тех x , которые являются решениями неравенства, другие x нас не интересуют). Значит, возведение в квадрат не нарушает равносильности и можно записать равносильную нашему неравенству систему неравенств:

Пример 1

Решите неравенство

Показать решение

Сразу перейдём к равносильной системе:

Ответ.

Пример 2

Решите неравенство

Показать решение

Перейдём к равносильной системе:

Ответ.

Неравенства вида

ОДЗ данного неравенства f ( x ) ≥ 0. Пусть для каких-то x из ОДЗ g ( x ) < 0. Тогда, очевидно, все эти x − решения, так как при этих x левая часть определена ( x ОДЗ) и неотрицательна, в то время как правая часть g ( x ) < 0.

Для других x из ОДЗ g ( x ) ≥ 0. Для них обе части неравенства неотрицательны, и его можно возвести в квадрат: Значит, данное неравенство равносильно совокупности неравенств:

Заметим, что в последнюю систему не входит требование f ( x ) ≥ 0. Оно и не нужно, так как выполняется автоматически ибо полный квадрат всегда неотрицателен.

Пример 3

Решите неравенство

Показать решение

ОДЗ неравенства: x ≥ –3.

1. Если то все эти x ОДЗ, для которых верно x < –1, − решения. Таким образом, − первая часть ответа.

2. Если то обе части неравенства неотрицательны, и его можно возвести в квадрат. Имеем:

Получаем, что решениями являются все

Объединяя результаты пунктов 1 и 2, получаем:

Ответ.

Пример 4

Решите неравенство

Показать решение

ОДЗ данного неравенства: Будем рассматривать только эти x , другие x не могут являться решениями данного неравенства.

1. Если то есть то все такие x из ОДЗ, удовлетворяющие этому условию, являются решениями неравенства. Значит, все x ≤ –3 − решения неравенства.

2. Если то есть а с учетом ОДЗ это означает, что то обе части неравенства неотрицательны. Возведём обе части неравенства в квадрат:

Уравнение имеет корни и Значит, решением неравенства являются С учётом получается, что на данном множестве решениями являются Объединяя результаты пунктов 1 и 2, получаем

Запишем это решение другим способом:

Ответ.

Неравенства вида

ОДЗ данного неравенства: Обе части неравенства неотрицательны в ОДЗ, и потому можно возводить в квадрат. Получим равносильную систему

Заметим, что из неравенства следует, что то есть дополнительно это требовать и включать это неравенство в систему не нужно.

Отметим полезное следствие. Предположим, что ОДЗ неравенства уже найдено, и мы будем отбирать решения только из ОДЗ (это разумно, поскольку вне ОДЗ решений нет). Тогда исходное неравенство равносильно следующему: а та система, которой это неравенство равносильно, может быть представлена (для x из ОДЗ) в виде Следовательно, в ОДЗ

Ясно, что те же рассуждения применимы и для знака неравенства ≥. Отсюда можно сделать полезное заключение:

Знак разности совпадает со знаком выражения

Отсюда же получается ещё одно полезное следствие:

в ОДЗ:

Пример 5

Решите неравенство

Показать решение

Перейдём к равносильной системе:

Решая эту систему методом интервалов, сразу получаем:

Ответ.

Пример 6

Решите неравенство

Показать решение

ОДЗ данного неравенства:

Заметим, что в ОДЗ x ≥ 0, поэтому существует и значит,

Мы воспользовались здесь тем, что в ОДЗ x ≥ 0, ( x – 5)( x – 6) ≥ 0 и потому существуют выписанные в последней строчке корни. Кроме того, мы вынесли за скобку который по вышесказанному существует. Этот корень неотрицателен и потому не влияет на знак неравенства, следовательно, на него можно сократить, не забывая, что он может ещё обратиться в нуль и те x , для которых корень обращается в нуль, являются решениями неравенства. Таким образом, в ответ необходимо включить число x = 5. При x = 6 корень обращается в нуль, но x = 6 не входит в ОДЗ неравенства. Воспользуемся теперь тем, что знак разности корней совпадает со знаком разности подкоренных выражений. Имеем:

Учтём теперь ОДЗ и получим:

Ответ.

Неравенства вида

ОДЗ данного неравенства: Предположим, что функции f ( x ) и g ( x ) не имеют общих корней. Рассмотрим вспомогательное неравенство
(*)

1. Если g ( x ) < 0, то для любого x из ОДЗ выполнено

2. Если g ( x ) ≥ 0, то выражение может иметь любой знак, но выражение всегда строго положительно. Умножая обе части неравенства (*) на строго положительное число не меняя знака неравенства, перейдём к равносильному неравенству
Таким образом, в ОДЗ

Значит, при g ( x ) ≥ 0, знак разности совпадает со знаком разности в ОДЗ.

Получаем следующие условия равносильности.

Запоминать приведённые системы неравенств не нужно, важно понимать, как они получаются.

Пример 7

Решите неравенство

Показать решение

Выполним равносильные в ОДЗ преобразования и приведём неравенство к удобному для применения результатов настоящего пункта виду.

Мы не случайно сделали последнее преобразование. Важно понимать, чему здесь конкретно равняется функция g ( x ) = 2 x – 8. Типичной ошибкой является считать, что g ( x ) = 2 x + 8.

ОДЗ данного неравенства: то есть Теперь перейдём к равносильной системе. В ОДЗ

С учётом ОДЗ сразу получаем:

Ответ.

Смотреть изменение Изменить блок текста

Добавить блок текста

Добавить Страницу

ммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммм

Краткое описание материала

Иррациональные неравенства

Если в неравенство входят функции под знаком корня, то такие неравенства называют иррациональными .

Стандартный метод решения этих неравенств заключается в возведении обеих частей неравенства в нужную степень: если в неравенство входит квадратный корень, то в квадрат; входит корень третьей степени − в куб и т. д. Однако, возводить в квадрат, не нарушая равносильности, можно только неравенство, у которого обе части неотрицательны. При возведении же в квадрат неравенств, части которых имеют разные знаки, могут получиться неравенства, как равносильные исходному, так и неравносильные ему. Простой пример: –1 < 3 − верное неравенство. Несмотря на то, что –4 < –1 − неравенство верное, неравенство 16 меньше 1,уже верным не является.

Методическая разработка для элективного курса.

Математика

Другие методич. материалы

03.01.2015

477

Файл будет скачан в формате:

DOCX

Автор материала

Богданова Ирина Алексеевна

учитель

На сайте: 10 лет и 6 месяцев
Всего просмотров: 28054
Подписчики: 1
Всего материалов: 9

28054
просмотров
9
материалов
1
подписчиков

Настоящий материал опубликован пользователем Богданова Ирина Алексеевна.
Инфоурок является информационным посредником. Всю ответственность за опубликованные материалы несут пользователи, загрузившие материал на сайт. Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.