Вокруг окружности
На уроках геометрии в средней школе все мы сталкивались
с такой теоремой (рис. 1): произведение длин отрезков, проведенных из точки М в
точки пересечения окружности с секущей АА', проходящей через точку М, равно
квадрату касательной, проведенной из точки М к этой же окружности МА·МА'=МТ². Будем
рассматривать отрезки МА и МА' как направленные и назовем произведением этих
отрезков произведение их длин, взятое со знаком «+» или «-» в зависимости от
того, направлены эти отрезки одинаково или противоположно. Если одна из точек А
или А', совпадает с точкой М, то будем считать произведение отрезков равным
нулю.
В высшей математике этому произведению дается определение: произведение направленных отрезков, проведенных из точки М в точки пересечения окружности w с любой секущей, проходящей через точку М, называется степенью точки М относительно окружности w [1, с. 289-299]. Далее в этой статье, используя определение степени точки, я сформулирую новое понятие окружности концентрической к данной и докажу его правильность.
Степень точки это действительное число, а раз так, то относительно окружности w данной степенью будет обладать целое множество точек. Следовательно, есть геометрическое множество точек, которые имеют равные степени относительно данной окружности. Рассмотрим возможные случаи расположения такого геометрического места точек.
1 Случай.
Все точки степени 0. Такие точки лежат на данной окружности. В данном случае возможно допущение, что окружность является концентрической с собой.
2 Случай.
Если точки расположены вне данной окружности, такое геометрическое место точек названо «суммой квадратов» (рис. 2) М1Т1²=М2Т2²=k.
Его рассматривают в школьном курсе геометрии [2, с. 165-169].
3 Случай.
Точки имеют отрицательную степень, тогда они лежат внутри данной окружности.
Докажем, что данное геометрическое место будет концентрической окружностью:
Пусть нам дана точка М, окружность w и число k – степень М относительно окружности w.
· Построим другие точки, имеющие такую же степень относительно окружности w (рис. 3).
1. Проведем диаметр АА', проходящий через точку М.
2. Построим диаметр ВВ' перпендикулярный данному.
3. Рассмотрим симметрию относительно ВВ':
А→А'
М→М', отсюда получаем, что АМ=А'М' и А'М=АМ', причем ОМ=ОМ' (по опр. симметрии).
Таким образом, М' имеет k – степень относительно окружности w.
4. Проведем хорду PQ, проходящую через точку М.
5. Построим радиус, перпендикулярный данной хорде. Он разобьет хорду на две равные части (по теореме о свойствах хорд окружности).
6. Рассмотрим симметрию относительно данного радиуса:
P→Q
M→N, отсюда получаем, что РМ=QN и МQ=NP.
Таким образом, N имеет k – степень относительно окружности w.
Если рассматривать точку N, то по аналогии с пунктами 1-3, можно получить точку N'.
· Докажем, что точки M, M', N, N' задают окружность.
Рассмотрим угол MNM', он равен 90° т. к. по построению ОМ=ОМ' и ML=NL, a LO – средняя линия треугольника MNM'. Таким образом, из точки N, имеющей степень равную степени точки М, отрезок ММ', виден под углом 90°. Аналогично, можно показать, что из точки N', имеющей степень равную степени точки М, отрезок ММ', виден под углом 90°. Тогда, по определению окружности [1] – точки M, M', N, N' задают окружность, причем, с диаметром ММ' (из равенства ОМ=ОМ' получим, что О – центр этой окружности), а, значит, эта окружность концентрическая к окружности w.
Покажем, что любая точка, имеющая степень k относительно окружности w, принадлежит данной концентрической окружности; и обратно, любая точка данной концентрической окружности имеет степень k относительно окружности w.
Первая часть следует из построения, поскольку если точка имеет степень k относительно окружности w, то по построению она принадлежит тому же множеству точек что и точка М.
Вторая часть: если точка Е принадлежит данной концентрической окружности, то она задает ее диаметр ЕЕ', причем ЕО=Е'О=МО=М'О, где М имеет степень k относительно окружности w. Тогда Е имеет степень k относительно окружности w.
Все выше сказанное является доказательством понятия: геометрическое место точек, которые имеют равные степени относительно данной окружности – это окружность концентрическая к данной.
Литература
1. Д.И. Перепелкин. Курс элементарной геометрии. – часть 1. Геометрия на плоскости. – М. 1948 г.
2. Л. С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др. Учеб. Для 7-9 кл. общеобразоват. Учреждений. – М. 1997 г.
Настоящий материал опубликован пользователем Конова Елизавета Юрьевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
