Основные свойства геометрических фигур.

Основные свойства

1.Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

2.Отношение площадей треугольников, имеющих общие высоты, равно отношению оснований, соответствующих этим высотам.

3. Отношение площадей треугольников, имеющих общие основания, равно отношению высот, соответствующих этим сторонам треугольника.

4.В подобных треугольниках пропорциональны сходственные элементы, радиусы вписанных и описанных окружностей, периметры треугольников, квадратные корни из площадей.

5.Радиус вписанной окружности можно найти по формуле:

6.Радиус описанной окружности удобно находить с помощью теоремы синусов и косинусов:

7.Каждая медиана делит треугольник на 2 равновеликих треугольника.

8.Три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.

9.Точка пересечения биссектрис делит биссектрису в отношении:

сумма сторон, образующих угол, из которого проведена биссектриса, к третьей стороне.

10.Медианы треугольника и стороны связаны формулой:

11.Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие, отсекает от него треугольник, подобный данному.

12. Если биссектрисы углов B и С  треугольника ABC  пересекаются в точке М, то .

13. Угол между биссектрисами смежных углов равен 90.

14. Если М – точка касания со стороной АС окружности, вписанной в треугольник АВС, то где - полупериметр треугольника.

15. Окружность касается стороны ВС треугольника АВС и продолжений сторон АВ и АС. Тогда расстояние от вершины А до точки касания окружности с прямой АВ равно полупериметру треугольника АВС.

16. Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается сторон АВ, ВС и АС соответственно в точках K, L и M. Если , то .

17.Теорема Менелая. Дан треугольник АВС. Некоторая прямая пересекает его стороны АВ, ВС и продолжение стороны АС в точках С1, А1,В1 соответственно. Тогда

18.Теорема Чевы. Пусть точки А1,В1  и С1 принадлежат соответственно сторонам ВС, АС и АВ треугольника АВС. Отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда 

19.Теорема Штейнера-Лемуса. Если две биссектрисы треугольника равны, то он равнобедренный.

20.Теорема Стюарта. Точка D расположена на стороне ВС треугольника АВС, тогда  .

21.Внеписанной окружностью называют окружность, касающуюся одной из его сторон и продолжений двух других.

22.Для каждого треугольника существуют три внеписанных окружности, которые расположены вне треугольника.

23.Центром внеписанной  окружности является точка пересечения биссектрис внешних углов треугольника и биссектрисы внутреннего, не смежного с этими двумя внешними.

24.Если окружность касается стороны ВС треугольника АВС и продолжений сторон АВ и АС. Тогда расстояние от вершины А до точки касания окружности с прямой АВ равно полупериметру треугольника АВС.

Краткое описание документа:

               В  учебниках А. В. Погорелова «Геометрия 7-9» и  Л. С. Атанасян  «Геометрия 7-9»  выделены не все основные свойства геометрических фигур. Очень часто эти свойства оформлены не  теоремами, а выдаются в виде задач, на которые  не акцентирует внимание обучающихся учитель, а  впоследствии и  ученик его  не всегда может вспомнить. А данные свойства имеют важное значение при подготовке к экзамену по математике при решении планиметрической задачи в ЕГЭ и ОГЭ.

В своем небольшом справочном пособии попыталась выделить основные свойства.